Funzione crescente
sia $f:RR\rightarrow RR$ una funzione crescente e sia $l\in RR$ e supponiamo che $f(a_n)+5a_n \rightarrow f(l)+5l$ per $n\rightarrow\infty$. allora $a_n \rightarrow l$.
io avrei già il dubbio che $a_n$ converga!
io avrei già il dubbio che $a_n$ converga!
Risposte
Io ho provato che $a_n$ è limitata. Quindi ammette estratta convergente ad un certo $L$. Poi ho provato che in realtà $L=l$.
Pertanto $a_n$ ammette estratta convergente ad $l$. Se vuoi ti posto i passaggi.
Mi resta da provare che in realtà è tutta la successione $a_n$ che converge ad $l$. Se ci riesco ti faccio sapere...
Pertanto $a_n$ ammette estratta convergente ad $l$. Se vuoi ti posto i passaggi.
Mi resta da provare che in realtà è tutta la successione $a_n$ che converge ad $l$. Se ci riesco ti faccio sapere...
"cirasa":
Mi resta da provare che in realtà è tutta la successione $a_n$ che converge ad $l$. Se ci riesco ti faccio sapere...
Fatto, per assurdo. Se ti servono più dettagli dimmelo.
per assurdo: allora esistono due sottosuccessioni che tendono a due limiti diversi ma poi non so come utilizzare le ipotesi!
Io ho fatto così. Per assurdo $a_n$ non converge a $l$. Allora esiste un [tex]\varepsilon>0[/tex] ed una sottosuccessione [tex]a_{n_k}[/tex] tale che per ogni [tex]k[/tex] si ha che [tex]a_{n_k}-l>\varepsilon[/tex] (oppure [tex]a_{n_k}-l<-\varepsilon[/tex], ma dovrebbe essere analogo).
Per ogni [tex]k[/tex] si ha che
[tex]\displaystyle a_{n_k}>l+\varepsilon[/tex]
[tex]\displaystyle f(a_{n_k})\geq f(l+\varepsilon)\geq f(l)[/tex]
[tex]\displaystyle f(a_{n_k})+5a_{n_k}\geq f(l)+5a_{n_k}\geq f(l)+5l+5\varepsilon[/tex]
Ma d'altra parte sappiamo che [tex]f(a_{n_k})+5a_{n_k}[/tex] converge ad [tex]l[/tex] (è una sottosuccessione di una successione che converge ad [tex]l[/tex]). Quindi assurdo!
Per ogni [tex]k[/tex] si ha che
[tex]\displaystyle a_{n_k}>l+\varepsilon[/tex]
[tex]\displaystyle f(a_{n_k})\geq f(l+\varepsilon)\geq f(l)[/tex]
[tex]\displaystyle f(a_{n_k})+5a_{n_k}\geq f(l)+5a_{n_k}\geq f(l)+5l+5\varepsilon[/tex]
Ma d'altra parte sappiamo che [tex]f(a_{n_k})+5a_{n_k}[/tex] converge ad [tex]l[/tex] (è una sottosuccessione di una successione che converge ad [tex]l[/tex]). Quindi assurdo!
giusto! grazie mille.
ora proverò a dimostrare l'esercizio!
ora proverò a dimostrare l'esercizio!
Rileggendo il tutto mi sono accorto che il mio post precedente conclude l'esercizio.
Non è necessario scoprire che $a_n$ è limitata ed ammette estratta convergente ad $l$. Giusto?
Non è necessario scoprire che $a_n$ è limitata ed ammette estratta convergente ad $l$. Giusto?
aspetta a ben vederemi pare di sì! si si. mi pare che tu l'abbia dimostrato.
C'è forse un modo più rapido ma ci ho pensato a mente immaginando il grafico senza scrivere niente... controllare per bene quindi!
Se $f$ è crescente allora $g(x)=f(x)+5x$ è strettamente crescente, dunque invertibile. Posto $b_n=f(a_n)+5a_n$ si ha $a_n=g^{-1}(b_n)$. Per il Teorema della funzione inversa $g^{-1}$ è continua e $b_n \to g(l)$ e quindi $a_n \to g^{-1}(g(l))=l$.
Se $f$ è crescente allora $g(x)=f(x)+5x$ è strettamente crescente, dunque invertibile. Posto $b_n=f(a_n)+5a_n$ si ha $a_n=g^{-1}(b_n)$. Per il Teorema della funzione inversa $g^{-1}$ è continua e $b_n \to g(l)$ e quindi $a_n \to g^{-1}(g(l))=l$.
"cirasa":
Ma d'altra parte sappiamo che [tex]f(a_{n_k})+5a_{n_k}[/tex] converge ad [tex]l[/tex] (è una sottosuccessione di una successione che converge ad [tex]l[/tex]). Quindi assurdo!
Non è esattamente così,, semmai è una sottosuccessione di una che converge a $f(l)+5l$.
Sì, scusa 
. Hai ragione, mi sono distratto. La frase giusta era:
"Ma d'altra parte sappiamo che [tex]f(a_{n_k})+5a_{n_k}[/tex] converge a [tex]f(l)+5l[/tex] (è una sottosuccessione di una successione che converge a [tex]f(l)+5l[/tex]). Quindi assurdo!"
. Hai ragione, mi sono distratto. La frase giusta era:"Ma d'altra parte sappiamo che [tex]f(a_{n_k})+5a_{n_k}[/tex] converge a [tex]f(l)+5l[/tex] (è una sottosuccessione di una successione che converge a [tex]f(l)+5l[/tex]). Quindi assurdo!"
figurati anzi grazie mille!
Bella la tua dimostrazione "cirasa":wink: , anche se a me, come tipologia di ragionamento, viene più immediata quella postata da Luca.
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