Funzione costante Holderiana
\( \Rightarrow \)salve a tutti, mentre studiavo ho incontrato la seguente frase che tutti i libri danno per "ovvia" :
se f : A \( \Rightarrow \)\(\Re \) è a-Holderiana con \(\alpha \)>1 allora f è costante .
ecco, ovunque danno la dimostrazione per scontata , il punto è che io non capisco come si possa dimostrare.. premetto che a lezione ci è stata fornita solo la definizione di funzione Holderiana, ma immagino che sia sufficiente per poterla dimostrare..
l'unica idea che mi è venuta è che :
poiché f è Holderiana allora per definizione :
\(\exists \) L >0 tale che :
|f(x) - f(y)| \(\leq \) L |x-y|^\(\alpha \)
ora, \(\alpha \) > 1 quindi posso dividere entrambi i membri per |x-y| e ottenere :
|f(x) - f(y) | / |x-y| \(\leq \) L |x-y|^ (\(\alpha \)-1) ...
ora non so piu che fare,e in realtà non so neanche se questa sia la strada giusta..
se f : A \( \Rightarrow \)\(\Re \) è a-Holderiana con \(\alpha \)>1 allora f è costante .
ecco, ovunque danno la dimostrazione per scontata , il punto è che io non capisco come si possa dimostrare.. premetto che a lezione ci è stata fornita solo la definizione di funzione Holderiana, ma immagino che sia sufficiente per poterla dimostrare..
l'unica idea che mi è venuta è che :
poiché f è Holderiana allora per definizione :
\(\exists \) L >0 tale che :
|f(x) - f(y)| \(\leq \) L |x-y|^\(\alpha \)
ora, \(\alpha \) > 1 quindi posso dividere entrambi i membri per |x-y| e ottenere :
|f(x) - f(y) | / |x-y| \(\leq \) L |x-y|^ (\(\alpha \)-1) ...
ora non so piu che fare,e in realtà non so neanche se questa sia la strada giusta..
Risposte
Beh, la derivata di \(f\) è nulla... 
ehm... perchè? non fa parte della tesi?
Si tratta di dimostrare che $ f'(x)=0" "AAx\inA $ affinche' valga la tesi.
Dall'ultima espressione scritta:
$ |f(x)-f(y)|/|x-y|<=L|x-y|^(alpha-1) $
passando al limite a sinistra si ottiene $ |f'(x)| $ per definizione di derivata e a destra qualcosa di piu' grande che tende a 0...
Dall'ultima espressione scritta:
$ |f(x)-f(y)|/|x-y|<=L|x-y|^(alpha-1) $
passando al limite a sinistra si ottiene $ |f'(x)| $ per definizione di derivata e a destra qualcosa di piu' grande che tende a 0...
ecco, diciamo che il ragionamento che avevo fatto era proprio questo.. ma non capisco perché il 2° membro tende a 0.. so che |x-y| < \(\delta \).. mi basta per dire che tende a zero? immagino per \(\alpha \) che tende a infinito, ma non sono sicuro..
Per il termine a destra, basta ricordare che (cambio variabile per chiarezza):
$ lim_(krarr0)k^beta= { ( 0" "beta>0 ),( 1" "beta=0),( oo" "beta<0 ):} $ (1)
nel caso in questione $ beta=alpha-1>0 $ quindi il limite e' 0 e quindi riscrivendo per intero l'espressione:
$ |f'(x)|=lim_(yrarrx)|(f(x)-f(y))/(x-y)|=lim_(yrarrx)L|x-y|^(alpha-1)=0 $
dove l'uguaglianza tra i due limiti e' garantita dal teorema del confronto per i limiti.
In altri termini da (1) si capisce che nel caso delle funzioni holderiane con $ alpha>1 $ e solo quelle vale $ f(x)=k $.
$ lim_(krarr0)k^beta= { ( 0" "beta>0 ),( 1" "beta=0),( oo" "beta<0 ):} $ (1)
nel caso in questione $ beta=alpha-1>0 $ quindi il limite e' 0 e quindi riscrivendo per intero l'espressione:
$ |f'(x)|=lim_(yrarrx)|(f(x)-f(y))/(x-y)|=lim_(yrarrx)L|x-y|^(alpha-1)=0 $
dove l'uguaglianza tra i due limiti e' garantita dal teorema del confronto per i limiti.
In altri termini da (1) si capisce che nel caso delle funzioni holderiane con $ alpha>1 $ e solo quelle vale $ f(x)=k $.
"gugo82":
Beh, la derivata di \( f \) è nulla...
"giammarco":
ehm... perchè? non fa parte della tesi?
Intendevo che dalle disuguaglianze:
\[
\tag{H} 0\leq \left| \frac{f(x)-f(y)}{x-y}\right|\leq H\ \left| x-y\right|^{\alpha -1}
\]
(con \(\alpha >1\), \(H\geq 0\) ed \(x,y\in \operatorname{Dom} f\)) segue davvero banalmente che \(f\) è derivabile ovunque nel suo dominio e che \(f^\prime (x)=0\) identicamente: infatti, per fissato \(x\in \operatorname{Dom} f\), ti basta applicare il teorema dei carabinieri nel passaggio delle (H) al limite per \(y\to x\).
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