Funzione costante a tratti

[scricciolo83]

Qualcuno mi può aiutare a capire come formalizzare la risoluzione del seguente esercizio???

Data la funzione [tex]f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}_+[/tex] costante a tratti. Provare che [tex]f \in BV([a,b])[/tex] e calcolare [tex]V_a^b(f)[/tex].

Allora presa una partizione di [tex][a,b][/tex], la variazione è data dai vari salti che ha la funzione nei tratti in cui è costante e questa variazione dovrebbe essere finita...

Come faccio a formalizzare la variazione dei vari salti della funzione???

[gugo82]

Innanzitutto, esisteranno un numero finito di intervallini (possibilmente degeneri in singleton) [tex]$I_1,\ldots ,I_K\subseteq [a,b]$[/tex] a due a due disgiunti tali che [tex]$\cup_{k=1,\ldots ,K} I_k =[a,b]$[/tex] ed [tex]$f\big|_{I_k}=\text{cost.}=:\alpha_k$[/tex], quindi [tex]f(x):=\sum_{k=1}^K \alpha_k\ \chi_{I_k}(x)[/tex].

Ora prendi una decomposizione [tex]$D$[/tex] e ragiona su com'è fatta [tex]$V_D(f)$[/tex]... Non è difficile, devi solo fare le cose con ordine.