Funzione costante

[miuemia]

mi date un consiglio su come risolvere questo esercizio?
se $f$ è una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato di $RR$ tale che ogni punto è di minimo locale.
allora dimostrare che $f$ è costante

[gugo82]

Per assurdo...

[Rigel1]

Sia $f: [a,b]\to \RR$ continua tale che ogni punto di $[a,b]$ è di minimo locale per $f$.
Per il teorema di Weierstrass esiste un punto $x_0\in [a,b]$ di massimo assoluto per $f$.
Definiamo
\[ \alpha := \inf\{t\in [a,x_0]: f(x) = f(x_0)\ \forall x\in[t,x_0]\},\quad
\beta := \sup\{t\in [x_0,b]: f(x) = f(x_0)\ \forall x\in[x_0,t]\}.
\]
Per continuità si ha $f(\alpha) = f(\beta) = f(x_0)$.

Puoi provare ora a dimostrare che $\alpha = a$ e $\beta = b$.

[miuemia]

non capisco come si possa fare per assurdo"!!

[gugo82]

L'idea era quella di Righello.

Per assurdo, supponi che \(f\) non sia costante.
Dato che \(f\) è continua, essa avrà massimo assoluto; chiama \(c\) un punto tale che \(f(c)=\max_{[a,b]} f\); considera la famiglia:
\[
\mathcal{I} = \{[\alpha ,\beta]\subseteq ]a,b[ :\ ]\alpha, \beta[ \text{ è intorno aperto di } c \text{ e } f\big|_{[\alpha ,\beta]} \text{ è costante}\}\; ;
\]
tale famiglia non è vuota: infatti, preso \(\varepsilon >0\) sufficientemente piccolo, si ha:
\[
\forall y\in [c-\varepsilon ,c+\varepsilon],\qquad \underbrace{f(y)\leq}_{c \text{ è di massimo}} f(c) \overbrace{\leq f(y)}^{c \text{ è minimo locale}}\quad \Rightarrow \quad f(y)=f(c)\; .
\]
L'unione di \(\mathcal{I}\), i.e. \(\tilde{I}:=\bigcup_{[\alpha ,\beta]\in \mathcal{I}} [\alpha, \beta]\), è un intervallo chiuso* propriamente contenuto in \([a,b]\) (perché \(f\) non è costante!), ergo è \(\tilde{I}=[A, B]\) con \(a\leq A Dico che ciò è assurdo: infatti, comunque si prenda \(\delta >0\) piccolo, si ha \(f(x)

__________
* Infatti, poni:
\[
A:= \inf_{[\alpha ,\beta] \in \mathcal{I}} \alpha \qquad \text{e} \qquad B:=\sup_{[\alpha ,\beta] \in \mathcal{I}} \beta
\]
e considera l'intervallo \([A,B]\): evidentemente \(]A,B[=\bigcup_{[\alpha ,\beta]\in \mathcal{I}} ]\alpha ,\beta[\) è un intorno aperto di \(c\); inoltre \(f\) è costante in \(]A,B[\) e dunque in \([A,B]\).

[Gaal Dornick]

Ricordo che era un esercizio di quelli dell'Acerbi Modica Spagnolo: loro sfruttavano la connessione.
Fai vedere che l'insieme dei punti in cui vale un valore e' aperto e chiuso..
Non ricordo per bene, se vuoi vado a controllare.