Funzione convessa

[chess71]

Non riesco a risolvere il seguente quesito:

Data una funzione R->R cosi' definita:
f(x) = a se x<0
f(x) = x^2 - x altrimenti
Determinare il valore di a in modo che la funzione sia convessa su tutta la retta reale.

Grazie in anticipo per chi volesse illuminarmi.

[gio73]

"chess71":Non riesco a risolvere il seguente quesito:

Data una funzione R->R cosi' definita:
f(x) = a se x<0
f(x) = x^2 - x altrimenti
Determinare il valore di a in modo che la funzione sia convessa su tutta la retta reale.

Grazie in anticipo per chi volesse illuminarmi.

Forse non ho capito io, ma per le x negative la funzione è solo a? in questo caso è una costante e il grafico è una retta parallela all'asse x, per $x>=0$ abbiamo una parabola rivolta verso l'alto?

[chess71]

esattamente
la risposta al quesito è quando a<= -1, ma non riesco a capire il perchè

[gio73]

A dire il vero non capisco neanche io, tra l'altro se $a<=-1$, la funzione mi sembra anche discontinua...
Hai a disposizione una definizione di concavità/convessità?

[Palliit]

Non è che per caso il testo è ...f(x)=ax per x<0 ? La risposta che hai scritto sarebbe giustificata, mentre non sarebbe corretta rispetto al testo che hai scritto

[chess71]

no, è scritta cosi'

[gugo82]

Basta fare un disegnino per vedere che in nessun caso la funzione assegnata può essere convessa:
[asvg]xmin=-4; xmax=4; ymin=-4; ymax=4;
axes("","");
strokewidth=2;
plot("x^2-x",0,6);
stroke="red"; line([-6,1],[0,1]);
stroke="dodgerblue"; line([-6,0],[0,0]);
stroke="purple"; line([-6,-1],[0,-1]);[/asvg]
Alla fine fine, è molto probabile (anzi, è certo, data la soluzione che fornisci) che il testo sia sbagliato e che la correzione da apportare sia quella suggerita da Palliit, i.e.:
\[
f(x):=\begin{cases} x^2-x &\text{, se } x\geq 0\\
ax &\text{, se } x\leq 0\; .
\end{cases}
\]

[gio73]

"gugo82":
\[
f(x):=\begin{cases} x^2-x &\text{, se } x\geq 0\\
ax &\text{, se } x\leq 0\; .
\end{cases}
\]

Mi sbaglio o ti è scappato un uguale di troppo...
$f(x)=ax if x<0$

[chess71]

adesso funziona
vi ringrazio veramente, non riuscivo a capire

[gugo82]

Beh, è lo stesso, dato che la funzione sarebbe continua in \(0\) in ogni caso.