Funzione convessa
Ciao a tutti,
se io ho $f(x,y,z)=xyz-x-y-z$ con $x,y,z \in R^+$ posso dire che è convessa nel dominio?
Come potrei mostrarlo? Con l'hessiano 3x3? Solo che mi viene a traccia nulla... e usando i teoremi sui minori principali (Sylvester) mi viene indefinita.
Grazie
se io ho $f(x,y,z)=xyz-x-y-z$ con $x,y,z \in R^+$ posso dire che è convessa nel dominio?
Come potrei mostrarlo? Con l'hessiano 3x3? Solo che mi viene a traccia nulla... e usando i teoremi sui minori principali (Sylvester) mi viene indefinita.
Grazie
Risposte
Definizione di convessità?
Ce ne sono molte: epigrafo convesso, presi due punti interni il segmento che li unisce è interno: $(p-q)t-p \in A; t \in [0;1]; \forall [p,q] \in A$ (dove A è il dominio), Hessiana positiva definita, il piano/iperpiano tangente è sotteso al grafico. Poi c'è anche quasi convessità e pseudoconvessità che non credo ci interessino ora (anche se riuscire a dimostrare la quasi convessità sarebbe egualmente positivo).
Bene, scegline una e fai qualche conto! Io ho provato con la prima ma i conti sono lunghi e noiosi! Sicuro che con l'hessiana non esca?
L'hessiana dovrebbe essere $ ( ( 0 , z , y ),( z , 0 , x ),( y , x , 0 ) ) $
e il determinante (laplace prima riga) $2xyz>0$
a questo punto so che i tre autovalori moltiplicati sono positivi e che la loro somma è 0. (Quindi o due negativi e uno positivo o tutti e tre positivi; però in quest'ultimo caso dovrebbero essere nulli perché la traccia - che è la loro somma - è zero ed essendo strettamente positivi non vedo come ciò sia possibile, quindi deve essere per forza indefinita).
Tra l'altro ora che ci penso non deve essere convessa ma concava perché voglio un massimo (quindi Hessiana negativa definita).
Ho provato anche a usare il criterio di Sylvester ma senza buoni risultati.
Dunque, come posso provare che per quei valori è concava?
Grazie!
e il determinante (laplace prima riga) $2xyz>0$
a questo punto so che i tre autovalori moltiplicati sono positivi e che la loro somma è 0. (Quindi o due negativi e uno positivo o tutti e tre positivi; però in quest'ultimo caso dovrebbero essere nulli perché la traccia - che è la loro somma - è zero ed essendo strettamente positivi non vedo come ciò sia possibile, quindi deve essere per forza indefinita).
Tra l'altro ora che ci penso non deve essere convessa ma concava perché voglio un massimo (quindi Hessiana negativa definita).
Ho provato anche a usare il criterio di Sylvester ma senza buoni risultati.
Dunque, come posso provare che per quei valori è concava?
Grazie!
Buttiamo via la parte lineare (che tanto non cambia niente) e consideriamo solo la funzione \(g(\mathbf{x}) = x_1 x_2 x_3\).
Se \(\mathbf{x}\) e \(\mathbf{y}\) hanno componenti tutte positive e \(\lambda\in [0.1]\), abbiamo che
\[
g((1-\lambda)\mathbf{x} + \lambda \mathbf{y}) = \prod_{j=1}^3 [(1-\lambda) x_j + \lambda y_j]
= (1-\lambda)^3 x_1 x_2 x_3 + \lambda^3 y_1 y_2 y_3 + \text{[altri termini \(\geq 0\)]}
\leq (1-\lambda) x_1 x_2 x_3 + \lambda y_1 y_2 y_3,
\]
da cui segue la convessità di \(g\) in \(\mathbb{R}_+^3\).
EDIT: l'ultimo passaggio è sbagliato, vedi sotto. La funzione non è convessa.
Se \(\mathbf{x}\) e \(\mathbf{y}\) hanno componenti tutte positive e \(\lambda\in [0.1]\), abbiamo che
\[
g((1-\lambda)\mathbf{x} + \lambda \mathbf{y}) = \prod_{j=1}^3 [(1-\lambda) x_j + \lambda y_j]
= (1-\lambda)^3 x_1 x_2 x_3 + \lambda^3 y_1 y_2 y_3 + \text{[altri termini \(\geq 0\)]}
\leq (1-\lambda) x_1 x_2 x_3 + \lambda y_1 y_2 y_3,
\]
da cui segue la convessità di \(g\) in \(\mathbb{R}_+^3\).
EDIT: l'ultimo passaggio è sbagliato, vedi sotto. La funzione non è convessa.
"Rigel":
Buttiamo via la parte lineare (che tanto non cambia niente) e consideriamo solo la funzione \(g(\mathbf{x}) = x_1 x_2 x_3\).
Se \(\mathbf{x}\) e \(\mathbf{y}\) hanno componenti tutte positive e \(\lambda\in [0.1]\), abbiamo che
\[
g((1-\lambda)\mathbf{x} + \lambda \mathbf{y}) = \prod_{j=1}^3 [(1-\lambda) x_j + \lambda y_j]
= (1-\lambda)^3 x_1 x_2 x_3 + \lambda^3 y_1 y_2 y_3 + \text{[altri termini \(\geq 0\)]}
\leq (1-\lambda) x_1 x_2 x_3 + \lambda y_1 y_2 y_3,
\]
da cui segue la convessità di \(g\) in \(\mathbb{R}_+^3\).
Grazie,
come fai a ignorare "gli altri termini non negativi"?
Inoltre perché con l'Hessiana non usciva?
Ma inoltre non dovrebbe essere una Cobb-Douglas? Quindi quasiconcava?
"Fregior":
[quote="Rigel"]Buttiamo via la parte lineare (che tanto non cambia niente) e consideriamo solo la funzione \(g(\mathbf{x}) = x_1 x_2 x_3\).
Se \(\mathbf{x}\) e \(\mathbf{y}\) hanno componenti tutte positive e \(\lambda\in [0.1]\), abbiamo che
\[
g((1-\lambda)\mathbf{x} + \lambda \mathbf{y}) = \prod_{j=1}^3 [(1-\lambda) x_j + \lambda y_j]
= (1-\lambda)^3 x_1 x_2 x_3 + \lambda^3 y_1 y_2 y_3 + \text{[altri termini \(\geq 0\)]}
\leq (1-\lambda) x_1 x_2 x_3 + \lambda y_1 y_2 y_3,
\]
da cui segue la convessità di \(g\) in \(\mathbb{R}_+^3\).
Grazie,
come fai a ignorare "gli altri termini non negativi"?
[/quote]
Infatti non li posso ignorare
Ho scritto correttamente "\(\geq 0\)" e poi, di corsa, li ho maggiorati come se fossero negativi.
La "dimostrazione" che ho riportato è sbagliata.
D'altra parte, l'hessiana calcolata per \(x=y=z=1\) ha autovalori \(2, -1, -1\), dunque chiaramente non è semidefinita positiva.
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