Funzione continua su un compatto non vuoto
Ciao a tutti. Ho un esercizio che non mi convince molto, ve lo propongo:
Sia $K \sub \mathbb{R}^n$ un insieme compatto con interno non vuoto e sia $f: K \to\mathbb{R}$ una funzione con le seguenti proprietà:
i) $f$ è continua su $K$
ii) $f$ è differenziabile in int($K$)
iii) $f$ è costante su $\partial K$
Dimostrare che esiste almeno un punto $x\in$ int($K$) tale che $\nabla f(x) = 0$.
Dunque, molto semplicemente io ho pensato che essendo $K$ compatto e $f$ continua, per il teorema di Weierstrass la funzione ha massimo e minimo su K, che sono punti critici dove il gradiente si annulla.
Ora non so perchè ma non mi convince molto, sembra troppo facile, magari mi sto dimenticando di qualcosa... voi che dite?
Sia $K \sub \mathbb{R}^n$ un insieme compatto con interno non vuoto e sia $f: K \to\mathbb{R}$ una funzione con le seguenti proprietà:
i) $f$ è continua su $K$
ii) $f$ è differenziabile in int($K$)
iii) $f$ è costante su $\partial K$
Dimostrare che esiste almeno un punto $x\in$ int($K$) tale che $\nabla f(x) = 0$.
Dunque, molto semplicemente io ho pensato che essendo $K$ compatto e $f$ continua, per il teorema di Weierstrass la funzione ha massimo e minimo su K, che sono punti critici dove il gradiente si annulla.
Ora non so perchè ma non mi convince molto, sembra troppo facile, magari mi sto dimenticando di qualcosa... voi che dite?
Risposte
Il gradiente si annulla nei punti di massimo/minimo per funzioni definite su APERTI.
Nel tuo caso la funzione è definita su un compatto, hai idea di come rimediare?
Nel tuo caso la funzione è definita su un compatto, hai idea di come rimediare?
Ecco cosa mi mancava. Dunque, la richiesta è di mostrare che esiste almeno un punto interno a $K$ tale che il gradiente sia zero. Il gradiente si annulla nei punti critici per funzioni definite su aperti; l'interno di K è un aperto, quindi se nella frontiera di K la funzione è costante possiamo dire che nella frontiera ci potrebbe essere un massimo o un minimo, ma non tutti e due. Quindi per forza deve esistere un punto critico all'interno di K
"shot22":
se nella frontiera di K la funzione è costante possiamo dire che nella frontiera ci potrebbe essere un massimo o un minimo, ma non tutti e due.
In realtà non è proprio vero, solo che è una situazione un po' particolare, prova a concludere cosa succederebbe in quel caso.
Dunque, parlando in generale, studiare i punti critici su un compatto significa prima studiare i punti critici interni e poi quelli sulla frontiera. Una volta individuati, li si confronta e si vede effettivamente per quale valore si ha l'effettivo massimo/minimo.
Si ma non c'entra niente con quello che stavamo dicendo, rimane da considerare il caso in cui sulla frontiera c'è sia un punto di massimo che uno di minimo, che cosa succede? Dimmelo tu.
Succede che massimo e minimo avrebbero lo stesso valore, il che porterebbe a pensare che $f$ sia costante in tutto K.
Dunque sono arrivato a questa conclusione. Essendo $K$ compatto ed $f$ continua, $f$ ha massimo e minimo su $K$. Questi punti critici possono essere:
1. entrambi interni a $K$;
2. uno sulla frontiera e uno interno;
3. tutti e due sulla frontiera.
I casi 1. e 2. non necessitano ulteriori spiegazioni perchè soddisfano già la richiesta dell'esercizio. Per quanto riguarda il 3. possiamo dire che se massimo e minimo sono sulla frontiera, essendo che la funzione è costante in $\partial K$, avremmo che massimo e minimo coincidono e che la funzione è costante in tutto $K$. Ma essendo costante in tutto $K$ si avrà che in ogni punto il gradiente è zero.
Dunque sono arrivato a questa conclusione. Essendo $K$ compatto ed $f$ continua, $f$ ha massimo e minimo su $K$. Questi punti critici possono essere:
1. entrambi interni a $K$;
2. uno sulla frontiera e uno interno;
3. tutti e due sulla frontiera.
I casi 1. e 2. non necessitano ulteriori spiegazioni perchè soddisfano già la richiesta dell'esercizio. Per quanto riguarda il 3. possiamo dire che se massimo e minimo sono sulla frontiera, essendo che la funzione è costante in $\partial K$, avremmo che massimo e minimo coincidono e che la funzione è costante in tutto $K$. Ma essendo costante in tutto $K$ si avrà che in ogni punto il gradiente è zero.
Esatto.
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