Funzione continua quasi ovunque
Ciao a tutti 
Devo dimostrare che una funzione continua $f:RR^n\rightarrow RR_e$ tranne in un insieme $E$ di misura di Lebesgue nulla è anche una funzione misurabile secondo Lebesgue.
Credo di essermi persa in un bicchiere d'acqua. Poichè la $\sigma$-algebra che considero su $RR_e$ è quella dei boreliani, mi basta far vedere che la controimmagine di ogni aperto di $RR_e$ è un insieme misurabile secondo Lebesgue.
Siccome la nostra funzione non è continua, esistono degli aperti $U_k$ di $RR_e$ tali che la controimmagine non è un aperto di $RR_e$.
Ora, è giusto dire che, comunque, la controimmagine di questi aperti $f^{-1}(U_k)\subseteq E$? Se così fosse avrei finito, perchè essendo gli $f^{-1}(U_k)$ sottoinsiemi di un insieme di misura zero, sono misurabili secondo Lebesgue.
P.S. Con $RR_e$ intendo la retta reale estesa.
Devo dimostrare che una funzione continua $f:RR^n\rightarrow RR_e$ tranne in un insieme $E$ di misura di Lebesgue nulla è anche una funzione misurabile secondo Lebesgue.
Credo di essermi persa in un bicchiere d'acqua. Poichè la $\sigma$-algebra che considero su $RR_e$ è quella dei boreliani, mi basta far vedere che la controimmagine di ogni aperto di $RR_e$ è un insieme misurabile secondo Lebesgue.
Siccome la nostra funzione non è continua, esistono degli aperti $U_k$ di $RR_e$ tali che la controimmagine non è un aperto di $RR_e$.
Ora, è giusto dire che, comunque, la controimmagine di questi aperti $f^{-1}(U_k)\subseteq E$? Se così fosse avrei finito, perchè essendo gli $f^{-1}(U_k)$ sottoinsiemi di un insieme di misura zero, sono misurabili secondo Lebesgue.
P.S. Con $RR_e$ intendo la retta reale estesa.
Risposte
Se prendi la funzione \[ \chi_{[0, + \infty)} (x) = \begin{cases} 1 & x \ge 0 \\ 0 & x < 0 \end{cases} \]
hai che le controimmagini di aperti non sono contenute in $E = \{ 0 \}$. Ti sembra?
hai che le controimmagini di aperti non sono contenute in $E = \{ 0 \}$. Ti sembra?
Ciao Seneca:)
Eh già, è venuto in mente anche a me poco dopo aver scritto il post. Ma quindi, come dovrei fare per risolvere il problema? Mi sono persa.
Eh già, è venuto in mente anche a me poco dopo aver scritto il post. Ma quindi, come dovrei fare per risolvere il problema? Mi sono persa.
Se $U$ è un aperto di $\mathbb{R}_e$, \[f^{-1}(U) = [ (\mathbb{R}^n \setminus E ) \cap f^{-1}(U) ] \cup [ E \cap f^{-1}(U) ] \;.\]
Dato che $f$ è continua in tutti i punti di $\mathbb{R}^n \setminus E$ , $(\mathbb{R}^n \setminus E ) \cap f^{-1}(U)$ è misurabile secondo Lebesgue. $E \cap f^{-1}(U)$ è un sottoinsieme di $E$ e quindi è un insieme di Lebesgue. Segue che $f^{-1}(U)$ è un insieme di Lebesgue.
Rimane da verificare che $f^{-1}(\{ +\infty\})$ e $f^{-1}(\{ - \infty\})$ sono misurabili.
Dato che $f$ è continua in tutti i punti di $\mathbb{R}^n \setminus E$ , $(\mathbb{R}^n \setminus E ) \cap f^{-1}(U)$ è misurabile secondo Lebesgue. $E \cap f^{-1}(U)$ è un sottoinsieme di $E$ e quindi è un insieme di Lebesgue. Segue che $f^{-1}(U)$ è un insieme di Lebesgue.
Rimane da verificare che $f^{-1}(\{ +\infty\})$ e $f^{-1}(\{ - \infty\})$ sono misurabili.
Scusa, ma perchè se $f$ è continua in $RR^n\\E$, allora $RR^n\\E\cap f^{-1}(U)$ è misurabile? So che $RR^n\\E$ è misurabile essendo il complementare di un insieme misurabile, ma poi non so.
Posto per semplicità $Y = \mathbb{R}^n \setminus E$ hai che, essendo $f_{|Y}$ continua, $f_{|Y} (U) = f^{-1}(U) \cap Y $ è aperto nella topologia sottospazio su $Y$ indotta dalla topologia standard. Quindi esiste un aperto $O \subset \mathbb{R}^n$ tale che $O \cap Y = f_{|Y} (U)$. Quindi $f_{|Y} (U)$ è misurabile essendo intersezione di due insiemi misurabili.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo