Funzione continua non assolutamente continua
Salve,
mi potreste fare esempi di funzioni di variabile reale continue ma non continue assolutamente?
Grazie
mi potreste fare esempi di funzioni di variabile reale continue ma non continue assolutamente?
Grazie
Risposte
Ma anche una meno malvagia $ f(x) = x*\sin(1/x)$ !
In effetti è proprio brutta quella 
"Bremen000":
Ma anche una meno malvagia $ f(x) = x*\sin(1/x)$ !
Grazie, ma qualcuno sa dimostrarlo?
Prego e immagino che si, qualcuno lo sappia dimostrare
A scanso di equivoci la funzione da considerarsi è $f : [0,1] \to \mathbb{R}$ definita da
\[ f(x) = \begin{cases} x\sin(1/x) & x \in (0, 1] \\ 0 & x=0 \end{cases} \]
Che è continua è un fatto che dovresti trovare elementare.
Che non sia assolutamente continua lo si può dimostrare in (almeno) due modi
1. Se conosci il teorema fondamentale del calcolo per l'integrale di Lebesgue si può far vedere che quella funzione è derivabile quasi ovunque e che la sua derivata non sta in \( L^1([0,1]) \) da cui $f$ non è assolutamente continua.
2. Se sai cosa è una funzione a variazione limitata si può far vedere che $f$ non lo è e dunque non è assolutamente continua.
In ogni caso puoi provare a farlo e se vuoi qualche suggerimento chiedi!
Più difficile invece è produrre una funzione a variazione limitata, continua e che non sia assolutamente continua, l'unico esempio che mi viene in mente è la scala di Cantor in effetti.
A scanso di equivoci la funzione da considerarsi è $f : [0,1] \to \mathbb{R}$ definita da
\[ f(x) = \begin{cases} x\sin(1/x) & x \in (0, 1] \\ 0 & x=0 \end{cases} \]
Che è continua è un fatto che dovresti trovare elementare.
Che non sia assolutamente continua lo si può dimostrare in (almeno) due modi
1. Se conosci il teorema fondamentale del calcolo per l'integrale di Lebesgue si può far vedere che quella funzione è derivabile quasi ovunque e che la sua derivata non sta in \( L^1([0,1]) \) da cui $f$ non è assolutamente continua.
2. Se sai cosa è una funzione a variazione limitata si può far vedere che $f$ non lo è e dunque non è assolutamente continua.
In ogni caso puoi provare a farlo e se vuoi qualche suggerimento chiedi!
Più difficile invece è produrre una funzione a variazione limitata, continua e che non sia assolutamente continua, l'unico esempio che mi viene in mente è la scala di Cantor in effetti.
"Bremen000":
Prego e immagino che si, qualcuno lo sappia dimostrare
A scanso di equivoci la funzione da considerarsi è $f : [0,1] \to \mathbb{R}$ definita da
\[ f(x) = \begin{cases} x\sin(1/x) & x \in (0, 1] \\ 0 & x=0 \end{cases} \]
Che è continua è un fatto che dovresti trovare elementare.
Che non sia assolutamente continua lo si può dimostrare in (almeno) due modi
1. Se conosci il teorema fondamentale del calcolo per l'integrale di Lebesgue si può far vedere che quella funzione è derivabile quasi ovunque e che la sua derivata non sta in \( L^1([0,1]) \) da cui $f$ non è assolutamente continua.
2. Se sai cosa è una funzione a variazione limitata si può far vedere che $f$ non lo è e dunque non è assolutamente continua.
In ogni caso puoi provare a farlo e se vuoi qualche suggerimento chiedi!
Più difficile invece è produrre una funzione a variazione limitata, continua e che non sia assolutamente continua, l'unico esempio che mi viene in mente è la scala di Cantor in effetti.
So la definizione di funzione a variazione limitata, ma come si dimostra che questa lo è?
Grazie mille
Anzi no, non voglio esagerare, mi faccio bastare la funzione di Cantor.
Grazie a tutti
Grazie a tutti
In realtà ora che ci penso basterebbe avere a che fare con una funzione continua ma non uniformemente continua, tipo la funzione $f(x)=sin(1/x)$ è continua in $(0,1]$ ma non uniformemente, quindi nemmeno assolutamente.
Vero! Anche questa non è a variazione limitata! Ci sono un sacco di esempietti carini (e chiarificanti) su continuità assoluta, uniforme, lipschitzianeità o \( [ \) derivabilità con continuità o meno \( ] \) che gravitano attorno alla famiglia di funzioni
\[ f(x) = x^{\alpha} \sin(1/x) \]
Ma Cantor le batte tutte!
\[ f(x) = x^{\alpha} \sin(1/x) \]
Ma Cantor le batte tutte!
"anto92":
So la definizione di funzione a variazione limitata, ma come si dimostra che questa lo è?
Grazie mille
Attento che la mia $f$ NON è a variazione limitata (e per questo nemmeno assolutamente continua)!
"anto_zoolander":
In realtà ora che ci penso basterebbe avere a che fare con una funzione continua ma non uniformemente continua
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