Funzione continua in un punto è necessariamente continua in un suo certo intorno
Ho questo dubbio:
dalla definizione posso concludere che se una funzione $f(x)$ è continua in $x_0$ allora esiste un intorno "piccolo" di $x_0$ tale che $f(x)$ è continua;
se esiste il limite $\lim_{x \to \x_0}f(x)$ allora esiste $\lim_{x \to \x_1}f(x)$ con $ x_1 $ $in$ un certo intorno di $x_0$ .
Se l'intorno non esistesse la funzione non sarebbe continua nel primo caso (a meno che non sia un punto isolato) e non avrebbe limite nel secondo.
Mi viene questo dubbio perché nel testo si parla di funzione di classe $C^1$ in un intorno di $x_0$ , ma se è classe $C^1$ in $x_0$ esiste un suo intorno in cui lo è
Non equivale a dire funzione di classe $C^1$ in $x_0$ ?
dalla definizione posso concludere che se una funzione $f(x)$ è continua in $x_0$ allora esiste un intorno "piccolo" di $x_0$ tale che $f(x)$ è continua;
se esiste il limite $\lim_{x \to \x_0}f(x)$ allora esiste $\lim_{x \to \x_1}f(x)$ con $ x_1 $ $in$ un certo intorno di $x_0$ .
Se l'intorno non esistesse la funzione non sarebbe continua nel primo caso (a meno che non sia un punto isolato) e non avrebbe limite nel secondo.
Mi viene questo dubbio perché nel testo si parla di funzione di classe $C^1$ in un intorno di $x_0$ , ma se è classe $C^1$ in $x_0$ esiste un suo intorno in cui lo è
Non equivale a dire funzione di classe $C^1$ in $x_0$ ?
Risposte
No, se una funzione è continua in un punto non è detto che lo sia in un suo intorno, prova a cercarne un esempio (non è facilissimo, se non ce la fai dai un'occhiata al post controesempi in analisi).
Comunque riguardo al dubbio di cui parli di solito non si parla di funzioni $C^1$ in un punto (a proposito, che definizione hai in mente? Che la derivata è continua in quel punto? in questo caso però si assumerebbe che la funzione sia per lo meno derivabile in un intorno del punto, quindi sarebbe un miscuglio strano di proprietà locale e puntuale), quindi se si vuole la regolarità vicino a $x_0$ come minimo bisogna chiederla in un suo intorno.
Comunque riguardo al dubbio di cui parli di solito non si parla di funzioni $C^1$ in un punto (a proposito, che definizione hai in mente? Che la derivata è continua in quel punto? in questo caso però si assumerebbe che la funzione sia per lo meno derivabile in un intorno del punto, quindi sarebbe un miscuglio strano di proprietà locale e puntuale), quindi se si vuole la regolarità vicino a $x_0$ come minimo bisogna chiederla in un suo intorno.
"otta96":
No, se una funzione è continua in un punto non è detto che lo sia in un suo intorno, prova a cercarne un esempio (non è facilissimo, se non ce la fai dai un'occhiata al post controesempi in analisi).
Comunque riguardo al dubbio di cui parli di solito non si parla di funzioni $C^1$ in un punto (a proposito, che definizione hai in mente? Che la derivata è continua in quel punto? in questo caso però si assumerebbe che la funzione sia per lo meno derivabile in un intorno del punto, quindi sarebbe un miscuglio strano di proprietà locale e puntuale), quindi se si vuole la regolarità vicino a $x_0$ come minimo bisogna chiederla in un suo intorno.
Grazie, non ci avevo fatto caso
Preciso che il testo parla di funzioni $C^1$ in un intorno di un punto (l'insieme deve essere aperto nelle ipotesi del teorema di Dini).
Funzioni $C^1$ in un punto cioè la derivata è continua in quel punto. Perché deve essere derivabile in un intorno del punto? Non basta che sia continua in quel punto e derivabile (quindi definita in un intorno di quel punto) in quel punto? In questo caso la derivata sarebbe un punto isolato e quindi è continua...
Vabbè ma è poco significativo, poi non sai che è derivabile SOLO in quel punto dell'intorno, sai solo che in quel punto lo è. Poi se la funzione è derivabile nel punto è comunque continua.
@paolo: Fatti un esempio, altrimenti fai solo castelli in aria. Prendi una funzione derivabile in un punto solo, come
\[
f(x)=\begin{cases} x+x^2, & x\in \mathbb Q, \\ x, & x\notin \mathbb Q.\end{cases}\]
Questa funzione è derivabile solo per \(x=0\) e in tale punto la derivata vale \(1\). Vedi un po' se si può applicare il teorema della funzione inversa...
\[
f(x)=\begin{cases} x+x^2, & x\in \mathbb Q, \\ x, & x\notin \mathbb Q.\end{cases}\]
Questa funzione è derivabile solo per \(x=0\) e in tale punto la derivata vale \(1\). Vedi un po' se si può applicare il teorema della funzione inversa...
"dissonance":
@paolo: Fatti un esempio, altrimenti fai solo castelli in aria. Prendi una funzione derivabile in un punto solo, come
\[
f(x)=\begin{cases} x+x^2, & x\in \mathbb Q, \\ x, & x\notin \mathbb Q.\end{cases}\]
Questa funzione è derivabile solo per \(x=0\) e in tale punto la derivata vale \(1\). Vedi un po' se si può applicare il teorema della funzione inversa...
Non si può applicare perché $f(x)$ non è di classe $C^1$ in un intorno di $x=0$ , inoltre non è neanche invertibile in tale intorno
Esatto. Come vedi, se la funzione è derivabile in un punto solo, il teorema della funzione inversa va a farsi benedire. Lo stesso vale per il teorema della funzione implicita, che è essenzialmente la stessa cosa. Questi teoremi necessitano che la funzione a cui li si applica sia di classe \(C^1\) in tutto un insieme aperto\(^{[1]}\) .
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\(^{[1]}\) Si potrebbe indebolire l'ipotesi, richiedendo la sola derivabilità ma non la continuità delle derivate, come discusso da Terry Tao qui.
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\(^{[1]}\) Si potrebbe indebolire l'ipotesi, richiedendo la sola derivabilità ma non la continuità delle derivate, come discusso da Terry Tao qui.
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