Funzione continua in un punto

[que1]

Ciao ragazzi , sto cercando di comprendere a fondo il significato intuitivo di funzione continua in un punto.
Per ora direi che :
se avvicinandomi infinitamente vicino ad un numero la funzione ha un determinato e univoco comportamento allora lo avrà anche in quel punto . In pratica la continuità garantisce che , rispettate certe condizioni , la funzione in un certo punto non farà la pazza ma avrà un certo tipo di valore.
E' corretto ? Grazie mille

[javicemarpe]

"que":Ciao ragazzi , sto cercando di comprendere a fondo il significato intuitivo di funzione continua in un punto.
Per ora direi che :
se avvicinandomi infinitamente vicino ad un numero la funzione ha un determinato e univoco comportamento allora lo avrà anche in quel punto . In pratica la continuità garantisce che , rispettate certe condizioni , la funzione in un certo punto non farà la pazza ma avrà un certo tipo di valore.
E' corretto ? Grazie mille

It is correct, but, well, there are extremely strange continuous functions, so there are very crazy functions which are continuous.

I like to see it like this (in an intuitive way): your function represents the result (the codomain of your function represents these results) after doing some measurement (the domain of your function represents the possible measurements). This way, if $x$ is a point of the domain you can understand it as a measurement and then you can understand $f(x)$ as the result of putting this measurement in some machine. The point is that, if the function is continuous, then accurate measurements around $x_0$ will give you accurate estimations of the real result $f(x_0)$.

More specifically: If the function is continuous at one point $x_0$, then, for a small error of $\varepsilon>0$, it is possible to find a region of measurement (this is the interval of radius $\delta>0$ around $x_0$ of the definition of continuity) around $x_0$ such that, if you measure there (and I understand for this to take points $x$ such that $|x-x_0|<\delta$) then, you will obtain an error less than $\varepsilon$, i.e. $|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$.