Funzione continua in un punto
Salve, ho la seguente funzione:
$f(x) = \sqrt{x-1}$
So che è continua nel punto x = 1 e voglio dimostrarlo.
Per vedere se è continua in quel punto i limiti destro e sinistro devono essere uguali e coincidere con il valore assunto dalla funzione in quel punto.
$lim x-> 1^+ f(x) = \sqrt{x-1} = 0^+$
$lim x-> 1^(-) f(x) = \sqrt{x-1} = 0^-$
Perchè non coincidono?
$f(x) = \sqrt{x-1}$
So che è continua nel punto x = 1 e voglio dimostrarlo.
Per vedere se è continua in quel punto i limiti destro e sinistro devono essere uguali e coincidere con il valore assunto dalla funzione in quel punto.
$lim x-> 1^+ f(x) = \sqrt{x-1} = 0^+$
$lim x-> 1^(-) f(x) = \sqrt{x-1} = 0^-$
Perchè non coincidono?
Risposte
Ciao.
Attenzione, il campo di esistenza della funzione $f(x) = \sqrt{x-1}$ è dato da $[1,+oo)$, quindi il limite
$lim_{xto1^-}sqrt{x-1}$
non può esistere.
In questo caso basta far vedere che $lim_{xto1^+}sqrt{x-1}=f(1)=0$
Comunque, anche se fosse esistito il limite sinistro, il fatto che - rispetto a un punto - un limite sinistro (destro) tenda a $0^-$ e quello destro (sinistro) a $0^+$ non costituirebbe alcun problema.
Saluti.
Attenzione, il campo di esistenza della funzione $f(x) = \sqrt{x-1}$ è dato da $[1,+oo)$, quindi il limite
$lim_{xto1^-}sqrt{x-1}$
non può esistere.
In questo caso basta far vedere che $lim_{xto1^+}sqrt{x-1}=f(1)=0$
Comunque, anche se fosse esistito il limite sinistro, il fatto che - rispetto a un punto - un limite sinistro (destro) tenda a $0^-$ e quello destro (sinistro) a $0^+$ non costituirebbe alcun problema.
Saluti.
Ok, ma se si presenta una situazione nella quale il limite destro è + infinito e quello sinistro è - infinito la c'è differenza? Cioè non coincidono?
"marco123":
Ok, ma se si presenta una situazione nella quale il limite destro è + infinito e quello sinistro è - infinito la c'è differenza? Cioè non coincidono?
E' evidente che, in una situazione di questo tipo, i limiti non coincidano.
In quel caso si avrebbe, in corrispondenza del punto rispetto a cui si calcolano i limiti destro e sinistro, un punto di discontinuità (di seconda specie).
Saluti.
Ok, un'ultima domanda: quindi in qualsiasi situazione possa capitare $0^+$ e $0^-$, come risultati dei limiti destro e sinistro, sono sempre coincidenti?
"marco123":
Ok, un'ultima domanda: quindi in qualsiasi situazione possa capitare $ 0^+ $ e $ 0^- $, come risultati dei limiti destro e sinistro, sono sempre coincidenti?
Risposta affermativa, se il contesto a cui si allude è quello riportato nella citazione sottostante.
"alessandro8":
Comunque, anche se fosse esistito il limite sinistro, il fatto che - rispetto a un punto - un limite sinistro (destro) tenda a $ 0^- $ e quello destro (sinistro) a $ 0^+ $ non costituirebbe alcun problema.
Saluti.
Ok, grazie.
Di nulla.
Saluti.
Saluti.
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