Funzione continua in R, dimostrazione

[SteezyMenchi]

Premetto di aver già postato un esercizio simile un po' di tempo fa, solo che la situazione era leggermente diversa (il caso era quello opposto di dimostrare l'esistenza di punto di minimo per una funzione e le ipotesi erano leggermente più generali).
L'esercizio in questione è questo:
Sia $f \in C^0(RR) t.c. f(0)>0$ e sia inoltre tale che:
$\lim_(x\to+oo)f(x)=\lim_(x\to-oo)f(x)=-oo$
Allora $f$ ammette un p.to di massimo assoluto $x_0$ e $f(x_0)>0$
Mi son fatto una specie di disegno e grazie agli aiuti della scorsa volta sono arrivato a dire che:
Per la def. di limite ho che
(1)$EEM>0 : AA|x|>M : f(x)<0$ e applicando poi il th. di Weierstrass a tale restrizione ho che
(2)$"Prendo "f_[-M,M] " e denoto " V=[-M,M]." Th.Weierstrass" rArr EEx_max \in V: f(x_max)>=f(x), AAx \in V$
Per ipotesi che $f(x_0)>0$ e per la (2) ho che vale anche $f(x_max)>=f(x_0)>0$.
Dunque
$f(x_max)>f(x), AAx\inRR" \ "[-M,M]$ e per la (2) ho che $f(x_max)>=f(x) AAx\inRR$
In sintesi ho lavorato sulla restrizione e poi grazie alla definizione di limite (che in questo caso vale sia a destra che a sinistra, come se fosse una funzione pari) ho esteso a tutto $RR$
Se qualcuno potesse dirmi se la mia dimostrazione è formalmente corretta o se ci sono delle imprecisioni, gliene sarei molto grato.

[otta96]

È giusta.