Funzione continua in Q! Prolungabile per continuità in R?
Ciao! L'esercizio dice quanto segue:
a) Trovare una funzione continua $f:QQ -> {0,1}$ con $f(0)=0$ e $f(1)=1$
b) Può una funzione di questo tipo essere prolungata per continuità su $RR$? Cioé esiste una funzione continua $f^c: RR->{0,1}$ con $f^c(x)=f(x) AA x in QQ$?
Alla domanda a io ho risposto con la seguente funzione:
$f(x)=0$ se $x<1/(sqrt(2)), f(x)=1$ se $ x>1/(sqrt(2))$ chiaramente $AA x in QQ$
Il mio problema è dimostrare che una simile funzione è continua
Per la parte b io avevo pensato qunanto segue!
$f^c(x)=0 $ se $ x=a $ con $ 0 < a in QQ AAx in RR$
Naturalmente soddisfa le richieste sopra, tranne per il fatto che non è continua, visto che $lim_{x uarr a} f^c(x)!=f(a)=lim_{x darr a} f^c(x)$ presenta un punto di discontinuità in $a$! E questo succede per qualunque funzione di quel tipo, che quindi non risulta prolungabile per continuità su tutto $RR$.
Sbaglio qualcosa?
a) Trovare una funzione continua $f:QQ -> {0,1}$ con $f(0)=0$ e $f(1)=1$
b) Può una funzione di questo tipo essere prolungata per continuità su $RR$? Cioé esiste una funzione continua $f^c: RR->{0,1}$ con $f^c(x)=f(x) AA x in QQ$?
Alla domanda a io ho risposto con la seguente funzione:
$f(x)=0$ se $x<1/(sqrt(2)), f(x)=1$ se $ x>1/(sqrt(2))$ chiaramente $AA x in QQ$
Il mio problema è dimostrare che una simile funzione è continua
Per la parte b io avevo pensato qunanto segue!
$f^c(x)=0 $ se $ x
Naturalmente soddisfa le richieste sopra, tranne per il fatto che non è continua, visto che $lim_{x uarr a} f^c(x)!=f(a)=lim_{x darr a} f^c(x)$ presenta un punto di discontinuità in $a$! E questo succede per qualunque funzione di quel tipo, che quindi non risulta prolungabile per continuità su tutto $RR$.
Sbaglio qualcosa?
Risposte
Rispondo subito alla b): impossibile, per il Teorema dei valori intermedi se $f$ fosse continua con $f(0)=0$ e $f(1)=1$ allora assumerebbe tutti i valori tra $0$ e $1$.
"Luca.Lussardi":
Rispondo subito alla b): impossibile, per il Teorema dei valori intermedi se $f$ fosse continua con $f(0)=0$ e $f(1)=1$ allora assumerebbe tutti i valori tra $0$ e $1$.
Giusto, a quello non avevo pensato!
Per quanto riguarda invece la parte a, nessuno mi sa aiutare sulla dimostrazione della continuità di quella funzione?
"Ghezzabanda":
Per quanto riguarda invece la parte a, nessuno mi sa aiutare sulla dimostrazione della continuità di quella funzione?
banale
la funzione è localmente costante...
"Fioravante Patrone":
[quote="Ghezzabanda"]
Per quanto riguarda invece la parte a, nessuno mi sa aiutare sulla dimostrazione della continuità di quella funzione?
banale
la funzione è localmente costante...[/quote]
è quello che ho pensato anch'io, ma ad un certo punto da qualche parte deve pur fare un salto se poi il valore cambia da zero ad uno! e in quel punto non saprei bene come mettarla!
quel punto non c'è!!!
il "punto dove salta" sarebbe il punto che hai scelto bene: $1/(sqrt(2))$, che non è in $QQ$
dentro $QQ$ non c'è nessun punto in cui "salta"
il "punto dove salta" sarebbe il punto che hai scelto bene: $1/(sqrt(2))$, che non è in $QQ$
dentro $QQ$ non c'è nessun punto in cui "salta"
"Fioravante Patrone":
quel punto non c'è!!!
il "punto dove salta" sarebbe il punto che hai scelto bene: $1/(sqrt(2))$, che non è in $QQ$
dentro $QQ$ non c'è nessun punto in cui "salta"
Ok concordo con quello che dici, ma ragionando con logica! Tra il punto più grande in $QQ$ a sinistra di $1/(sqrt(2))$ e il punto piuù piccolo in $QQ$ a destra di $1/(sqrt(2))$, tecnicamente c'è un salto! No?
@Ghezzabanda
"il punto più piccolo in $QQ$ a destra di $1/(sqrt(2))$"
se lo conosci, me lo presenti?
"il punto più piccolo in $QQ$ a destra di $1/(sqrt(2))$"
se lo conosci, me lo presenti?
"Fioravante Patrone":
@Ghezzabanda
"il punto più piccolo in $QQ$ a destra di $1/(sqrt(2))$"
se lo conosci, me lo presenti?
Quindi in pratica c'è un punto in cui la funzione tecnicamente fa un salto, ma questo punto non esiste! mmmm interessante come dimostrazione!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo