Funzione continua e monotona

[leodistefano]

salve, avrei urgente bisogno di una dimostrazione che molto probabilmente mi verrà chiesta all'esame di analisi 1 che ho martedì...
il teorema è:
teorema della monotonia di una funzione continua invertibile
AIUTO!!!
grazie a tutti

[miuemia]

potresti enunciare il teorema bene con ipotesi e tesi.
così comel hai scritto è incomprensibile.
la funzione dove è definita? a valori in cosa?

[leodistefano]

purtroppo il professore nn ha spiegato questo teorema ma lo vuole sapere quindi nn so di preciso come sia definito. cmq credo che sia così:
IP: f continua e invertibile in (a;b)
TS: allora f è monotona

[miuemia]

visto che f è invertibile è iniettiva su (a,b) e quindi è monotona su (a,b).

[fireball1]

Penso si possa dimostrare così.
Dato che per ipotesi la funzione è invertibile in (a,b), allora
è iniettiva in (a,b) e questo vuol dire che presi comunque $x_1,x_2$ in (a,b)
tali che $x_1!=x_2$, si ha che $f(x_1)!=f(x_2)$.
Se dunque scegliamo $x_1 o $f(x_1)f(x_2)$ , quindi la funzione o è monotòna
crescente o è monotòna decrescente.

[miuemia]

non proprio per qualunque X1 e X2 ma deve essere X1 diverso da X2 allora per iniettività le corrispettive immagini sono diverse.
cerca di dimostrare che se f è iniettiva allora è monotona. a tequesto serve.
non è rigoroso il ragionamento che fai dicendo visto che f è iniettiva allora deve essere o f(X1)>f(X2) o il contrario.
a te basta che dimostri che se è iniettiva allora è monotona e quindi hai la tesi.

[fireball1]

Sì hai ragione ho semplicemente scordato di scrivere $x_1!=x_2$,
lo so che dev'essere così ma mi sono dimenticato di scriverlo.
Ho corretto, ora va bene? Penso comunque di no...
Anche perché credo che bisogna tenere conto
del fatto che la funzione oltre ad essere invertibile
è anche continua in (a,b) ...

[miuemia]

si è ovvio che bisogna tener conto del fato che sia continua e proprio quello che ti serve per dimostrare che l'iniettività implica la monotonia

[fireball1]

Come fai a dire che se è continua e iniettiva allora è senz'altro monotòna?

[miuemia]

dimostri che se f non è monotona allora non è iniettiva.

[david_e1]

Io lo farei per assurdo.

Ammettiamo che f sia non monotona e continua e dimostriamo che allora non e' invertibile. Allora possono verificarsi 2 casi.

CASO 1
La funzione in esame e' globalmente crescente o decrescente, ma in alcuni tratti e' costante. Allora e' chiaro che la funzione non e' invertibile perche' se e' costante in un intervallo allora due punti di quell'intervallo hanno la stessa immagine.

CASO 2
Esiste almeno un punto $bar x$ INTERNO al dominio che gode di questa proprieta': in ogni intorno di x esistono almeno 2 punti $x_1$ e $x_2$ t.c.:

$ f(x_1) < f(x_2) < f(bar x) $ oppure $ f(x_1) > f(x_2) > f(bar x) $ con $ x_1 < x < x_2 $.

Nel primo caso (per l'altro e' analogo) definiamo la funzione:

$ g(x) = f(x) - f(x_2) $

E' chiaro che $g$ e' continua in oltre essendo:

$ {(g(bar x)>0),(g(x_1)<0):} $

Per il teorema di Bolzano allora $g$ ha uno zero in $(x_1,bar x)$ in un punto che chiamiamo $\xi$.

Ne consegue che:

$ f(\xi)=f(x_2) $

$\xi$ e' sicuramente diverso da $x_2$ quindi $f$ non e' invertibile.