Funzione continua e integrabile?

[desterix95]

Domanda teorica; se una funzione è continua, è sicuramente integrabile?
Il teorema dice che se una funzione è continua in un intervallo chiuso, allora è integrabile. Ma se una funzione è continua in un intervallo aperto, è comunque integrabile?

[kobeilprofeta]

cosa intendi per integrabile? se intendi Riemann int allora non ha senso; perchè l'int di Riemann è definito solo su compatti

[desterix95]

Una funzione definita in un intervallo aperto è integrabile?

[kobeilprofeta]

non ci capiamo... dimmi la definizione: cosa significa che una funzione è R integrabile?

[luc.mm]

Se vai a vedere la definizione l'integrale di Riemann su aperti è definito in senso improprio, come il limite dell'integrale su compatti. Quindi non è vero che se la funzione è continua su un aperto è per forza integrabile, pensa a $ 1/x $ non integrabile sulla aperto $ (0,+infty) $ nemmeno se è limitata e continua una funzione è integrabile su un aperto con certezza $ sin (1/x) $ ad esempio sullo stesso insieme non è integrabile.

[gugo82]

"luc.mm":Se vai a vedere la definizione l'integrale di Riemann su aperti è definito in senso improprio, come il limite dell'integrale su compatti.

L'integrale improprio non è l'integrale di Riemann.

L'integrale improprio è una generalizzazione dell'integrale di Riemann (definito esclusivamente per funzioni limitate su intervalli compatti) che consente di estendere il senso dell'operazione di integrale anche a funzioni non limitate definite in intervalli/insiemi non compatti.

Peraltro, l'integrale improprio non è l'unica generalizzazione dell'integrale di Riemann che consente tale estensione: ad esempio, l'integrale a valor principale (di Cauchy) consente di effettuare la stessa estensione, ma per una classe più ampia di funzioni.

[luc.mm]

Chiedo venia per la svista. Intendevo.

Se vai a vedere una definizione l'integrale su aperti è definito in senso improprio, come il limite dell'integrale di Riemann su compatti.

Dovrebbe andar bene.