Funzione continua e derivabile in un punto

[yonko1]

L'esame si avvicina e con ciò si fanno presenti dubbi su cose che ormai credevo ben consolidate.
Il dubbio è il seguente:
Se ho una funzione continua in un punto, tale funzione non deve essere continua anche in un intorno di quel punto?
Una funzione derivabile in un punto deve essere derivabile e continua in un intorno di quel punto?
Sapete farmi qualche esempio a tal proposito?

[Studente Anonimo]

In questi casi, per semplicità, basta illustrare un controesempio per $[x=0]$:

$[x ne 1/n] rarr [f(x)=x]$

$[x = 1/n] rarr [f(1/n)=1/n^2]$

Insomma, la funzione di cui sopra, pur essendo continua per $[x=0]$, non lo è in nessun intorno.

P.S.
Se la proprietà fosse stata vera, qualcuno ne avrebbe fatto un teorema.

[yonko1]

"anonymous_0b37e9":In questi casi, per semplicità, basta illustrare un controesempio per $ [x=0] $:

$ [x ne 1/n] rarr [f(x)=x] $

$ [x = 1/n] rarr [f(1/n)=1/n^2] $

Insomma, la funzione di cui sopra, pur essendo continua per $ [x=0] $, non lo è in nessun intorno.

P.S.
Se la proprietà fosse stata vera, qualcuno ne avrebbe fatto un teorema.

Si la domanda l'ho fatta prevalentemente per avere un controesempio... non riuscivo a trovarne nemmeno uno per dimostrare che quanto dicevo era sbagliato...
Grazie per la rispsosta