Funzione continua e derivabile

[attila3]

1) f(x)= 3a^2*x^3+2a, x>1
e^(2x^2-3x+1), x<=1
determinare per quali valori del parametro a la funzione risulta;
i) continua;
ii) derivabile

2) L'elasticità della funzione f(x)=x^3*e?2x è: 2x+3; 3x+2; 3x^2+2e^2x; 6x.

[Camillo]

*Continuità :
per la continuita nel punto x=1 deve essere :
e^(2-3+1)=e^0=1 uguale al limite per x che tende a 1 di f(x) ; poichè tale limite vale :3a^2+2a deve essere:
3a^2+2a=1 da cui : 3a^2+2a-1 = 0 che risolto dà:
a= -1 oppure a = 1/3

*Derivabilità :
la derivata della prima funzione vale :9a^2x^2 che per x che tende a 1 vale : 9a^2.
la derivata della seconda funzione vale 4x-3)* e^(2x^2-3x+1); in x = 1 tale derivata vale : 1.
Se si vuole che la funzione sia derivabile nel punto x=1, bisogna che derivata destra e sinistra abbiano lo stesso valore e quindi:

9a^2 = 1 da cui : a= +- 1/3.
Poichè per esssere derivabile una funzione deve essere continua ( condizione necessaria anche se non sufficiente ) soltanto a = 1/3 è accettabile.
Quindi in conclusione: si ha continuità se a= -1 oppure a = 1/3.
si ha derivabilità se a= 1/3.

[MaMo2]

2) L'elasticità di una funzione è definita come:
E(x) = x[f'(x)/f(x)]
Si ha perciò:
E(x) = x[(3x^2*e^(2x) + 2x^3*e^(2x)]/[x^3*e^(2x)] = 3 + 2x.