Funzione continua

[zio_mangrovia]

Data la funzione $g:RR->RR$

$g(x)={(b,if x<2),(1,if x>=2):}$

trovare i valori di $binRR$ per cui $f(x)=pi+\int_0^xe^g(t)dt$ è continua.

Non so da che parte rifarmi...

[ThisMan]

"zio_mangrovia":Data la funzione $g:RR->RR$

$g(x)={(b,if x<2),(1,if x>=2):}$

trovare i valori di $binRR$ per cui $f(x)=pi+\int_0^xe^g(t)dt$ è continua.

Non so da che parte rifarmi...

Notiamo il fatto che

$ lim_(x->x0)int_(a)^(x) f(t) dt-int_(a)^(x_0) f(t) dt=0 $

infatti

$ |lim_(x->x0)int_(a)^(x) f(t) dt-int_(a)^(x_0) f(t) dt|= |lim_(x->x0)int_(x)^(x_0) f(t)| $

ricordando ora che la funzione è definita in un intervallo $[a,x_0]$ (o [x_0,a]) e supponiamo anche che sia limitata in questo intervallo, ossia che esista un estremo superiore tale $|f(x)|=M$, allora dalla definizione di integrale

$ lim_(x->x0)-M|x-x_0| < lim_(x->x0)int_(x)^(x_0) f(t) < lim_(x->x0)M|x-x_0| $

e per il teorema dei carabinieri tende il tutto a zero, quindi la funzione integrale è una funzione continua.

Venendo alla tua domanda, considerando che la funzione che stai analizzando è composizione di due funzioni continue essa è continua, non resta che valutare per quali $b$ la funzione sia integrabile.
Ricordando che la funzione è integrabile se esistono un numero finito di punti di discontinuità della funzione all'interno dell'integrale, allora qualunque $b$ appartenente ai reali va bene

[zio_mangrovia]

riesco a comprendere il teorema dei carabinieri e quindi che il valore assoluto dell'integrale tra $x$ e $x_0$ tende a zero ma no riesco a capirne al''attinenza alla continuità...

[ThisMan]

"zio_mangrovia":riesco a comprendere il teorema dei carabinieri e quindi che il valore assoluto dell'integrale tra $x$ e $x_0$ tende a zero ma no riesco a capirne al''attinenza alla continuità...

Guarda gli estremi di integrazione, quell'integrale in mezzo ai "carabinieri" è la differenza fra $F(x)$ e $F(x_0)$, che se fa zero al tendere di $x$ a $x_0$ significa che è continua (volendo si poteva notare che fosse Lipschitziana, e quindi anche uniformemente continua, ma è uguale ai fini dell'esercizio). Pensala così, la funzione ingranda è anche la derivata della funzione integrale, perciò se la funzione integranda presenta un punto di discontinuità non significa che anche la funzione integrale presenta un punto di discontinuità, ma che ci sarà un repentino cambio di andamento della funzione integrale.

Se prendiamo per esempio la funzione integrale dell'esercizio otteniamo la seguente funzione

$ h(x)={ ( e^bx if x<2 ),( 2e^b+ex-2e if x>=2 ):} $

che è continua (per raggiungere questo risultato ho spezzato la funzione ed ho integrato prima una parte e poi l'altra, in caso avessi dubbi in merito non preoccuparti a chiedere)

quindi ottengo

$f(x)=\pi + h(x)$

ed in quanto somma di funzioni continue, è continua

Spero di essere stato chiaro