Funzione Concava o Convessa
Ciao a tutti, non riesco a risolvere questi due problemi.. qualcuno sa come si svolgono mostrando anche il procedimento ? Grazie mille
1)----------La funzione $ f(x) = 2lnx - x^2 $ sul proprio dominio è:
a. strettamente convessa
b. nè concava nè convessa
c. ha un punto di flesso
d. è strettamente concava
2)----------La funzione $ f(x) = e^(4-x^2) $ in che intervallo è strettamente concava?
Per capire se una funzione è concava o convessa bisogna studiare il segno della $ f''(x) $ però mi blocco durante il procedimento di entrambe.. se ci fosse qualcuno bravo a farsi capire sarebbe ottimo..
1)----------La funzione $ f(x) = 2lnx - x^2 $ sul proprio dominio è:
a. strettamente convessa
b. nè concava nè convessa
c. ha un punto di flesso
d. è strettamente concava
2)----------La funzione $ f(x) = e^(4-x^2) $ in che intervallo è strettamente concava?
Per capire se una funzione è concava o convessa bisogna studiare il segno della $ f''(x) $ però mi blocco durante il procedimento di entrambe.. se ci fosse qualcuno bravo a farsi capire sarebbe ottimo..
Risposte
$f(x) = 2ln x-x^2 $ Calcolo dominio sempre anche se non richiesto : Dom = $(0, +oo) $
Derivata prima : $ f '(x)=2/x-2x $; derivata seconda che è quella di cui ci interessa il segno $f '' = -2(x^2+1)/x^2 $ che è sempre $< 0 $ e mai neppure $= 0 $ quindi la funzione in tutto il suo dominio è Concava -risposta d .
Ok ?
Prova a fare l'altro esercizio e poi vediamo se hai problemi.
Derivata prima : $ f '(x)=2/x-2x $; derivata seconda che è quella di cui ci interessa il segno $f '' = -2(x^2+1)/x^2 $ che è sempre $< 0 $ e mai neppure $= 0 $ quindi la funzione in tutto il suo dominio è Concava -risposta d .
Ok ?
Prova a fare l'altro esercizio e poi vediamo se hai problemi.
"Camillo":
$f(x) = 2ln x-x^2 $ Calcolo dominio sempre anche se non richiesto : Dom = $(0, +oo) $
Derivata prima : $ f '(x)=2/x-2x $; derivata seconda che è quella di cui ci interessa il segno $f '' = -2(x^2+1)/x^2 $ che è sempre $< 0 $ e mai neppure $= 0 $ quindi la funzione in tutto il suo dominio è Concava -risposta d .
Ok ?
Prova a fare l'altro esercizio e poi vediamo se hai problemi.
Grazie Camillo.. io arrivavo a una scrittura simile ma senza raccogliere il $ -2 $ come hai fatto tu, quindi mi veniva poi Numeratore $ >= $ 0 e veniva $ x^2 <= -1 $ che suppongo sia impossibile... giusto ? Quindi gia qui mi bloccavo.. Mentre il Denominatore ponendolo $ > $ a 0 e cioè $ x^2 > 0 $ è sempre verificato tranne in x=0 . Dico bene?
Ricapitolando, una volta che tu arrivi alla scrittura $f '' = -2(x^2+1)/x^2 $ , poni $ >= 0 $ ? e il -2 che fine fa ? Saranno sicuramente domande banali.. ma mi perdo in queste cose..
Quando arrivi a $ f '' = -2(x^2+1)/x^2 $ non hai bisogno di " porre " niente in quanto basta osservare i vari fattori :
$-2 $ è $ < 0 $ sempre
$ x^2+1 > 0 $ sempre, è somma di due quadrati e positivo per forza
$x^2 > 0 $ sempre è un quadrato, certo se $x =0 $ allora diventa $ 0 $ ma questo fatto va escluso perché $ 0 $ non fa parte del dominio.
La regola dei segni ti porta a concludere che la derivata seconda è sempre $< 0 $ in tutto il dominio della funzione .
$-2 $ è $ < 0 $ sempre
$ x^2+1 > 0 $ sempre, è somma di due quadrati e positivo per forza
$x^2 > 0 $ sempre è un quadrato, certo se $x =0 $ allora diventa $ 0 $ ma questo fatto va escluso perché $ 0 $ non fa parte del dominio.
La regola dei segni ti porta a concludere che la derivata seconda è sempre $< 0 $ in tutto il dominio della funzione .
"Camillo":
Quando arrivi a $ f '' = -2(x^2+1)/x^2 $ non hai bisogno di " porre " niente in quanto basta osservare i vari fattori :
$-2 $ è $ < 0 $ sempre
$ x^2+1 > 0 $ sempre, è somma di due quadrati e positivo per forza
$x^2 > 0 $ sempre è un quadrato, certo se $x =0 $ allora diventa $ 0 $ ma questo fatto va escluso perché $ 0 $ non fa parte del dominio.
La regola dei segni ti porta a concludere che la derivata seconda è sempre $< 0 $ in tutto il dominio della funzione .
In sostanza essendoci un $ < $ e due $ > $ il risultato è $ < $ e quindi Convessa... Può essere interpretato cosi?
Riguardo al secondo esercizio $ f(x) = e^(4-x^2) $ che chiedeva in quale intervallo è strettamente concava penso di esserci arrivato ma c'è un errore di calcolo che non so dove si trovi (la riposta dice in ( $ -sqrt (2)/2 $ ; $ +sqrt (2)/2 $ )
Derivata prima: $ f'(x) = e^(4-x^2) * (-2x) $ quindi $ -2e^(4-x^2)x $
Derivata seconda: $ f''(x) = e^(4x^2) * (-2x) * (-2x) + e^(4-x^2) * (-2) $ e quindi $ e^(4-x^2) * (4^2 - 2) $
Facendo lo studio del segno $ >= $ e studiando i due fattori separatamente (l'esponenziale è sempre positivo perchè non si annulla mai... giusto? quindi passo direttamente alla parentesi) mi viene
$ x^2 >= 1/2 $ e quindi in $ x <= -sqrt(1/2) V x>= +sqrt(1/2) $ la funzione è Convessa.. di conseguenza nel complementare è concava ovvero in
$ -sqrt(1/2) < x < +sqrt(1/2) $
Il problema è che il risultato è simile ma non uguale.. c'è quella radice di 2 che non so da dove arrivi.. e dall'esponenziale (supponendo di dover porre $ >= $ anche quello, non esce quel risultato li)
Help.. dove sbaglio ?
Primo esercizio : poiché il segno della derivata seconda è sempre $< 0 $ allora la funzione è strettamente CONCAVA .
Secondo esercizio , credo che hai perso un $x^2 $ , la derivata seconda vale $f ''(x)=2 e^(4-x^2)(2x^2-1)$ .
Cerco ove la $f(x)$ è strettamente concava quindi deve essere $f '' < 0 $ da cui $2x^2-1 < 0 $ essendo l'esponenziale sempre positiva .
Si deduce $ x^2 <1/2 $ da cui $ -( sqrt2)/2
Cerco ove la $f(x)$ è strettamente concava quindi deve essere $f '' < 0 $ da cui $2x^2-1 < 0 $ essendo l'esponenziale sempre positiva .
Si deduce $ x^2 <1/2 $ da cui $ -( sqrt2)/2
"Camillo":
Primo esercizio : poiché il segno della derivata seconda è sempre $< 0 $ allora la funzione è strettamente CONCAVA .
Scusa continuo a non capire il perchè è "sempre minore di 0" .. abbiamo ottenuto
−2 è <0 sempre
x2+1>0 sempre, è somma di due quadrati e positivo per forza
x2>0 sempre
Come mai diciamo che è sempre minore di 0 ? Scusa il mio insistere..
per quanto riguarda il secondo esercizio mi son perso in un bicchier d'acqua.. grande Camillo,
Per la regola dei segni il prodotto di (-)(+)(+) = (-) ,ok ? quindi la derivata seconda è sempre $< 0 $ per qualunque valore di x .ok ?
"Camillo":
Per la regola dei segni il prodotto di (-)(+)(+) = (-) ,ok ? quindi la derivata seconda è sempre $< 0 $ per qualunque valore di x .ok ?
Si Camillo ti ringrazio ancora per la pazienza e per le tue spiegazioni
. Avrei delle domande su delle tavole di verità, essendo che tu sei un moderatore dove potrei creare la discussione ? Credo di aver capito il concetto e le varie operazioni, ma ciò che non riesco a fare è risalire alla soluzione che l'esercizio propone! Ovvero non so quale procedimento ci va per arrivare a scegliere quella risposta.. probabilmente sarà qualche calcolo banale ma non ci arrivo
. L'esercizio è questo , con le relative soluzioni...
Premesso che non si vede granché (almeno io ...) e penso che vada spostata in algebra, quello che devi fare è costruire tu le tavole della verità per le diverse espressioni e confrontare il risultato finale con quello fornito e quindi scegliere quella corrispondente.
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
Dato che dall'immagine non si capiscono i risultati ti scrivo direttamente i risultati che ho trovato io e il metodo applicato per trovarli.
1) Applicando la regola P.O.S (Product of sums, prodotti di somme) trovo \(\displaystyle y=P \lor Q\).
2) Applicando la regola S.O.P (Sum of products, somma di prodotti) trovo \(\displaystyle y=(P \land \lnot Q) \lor (\lnot P \land Q)=P \underline{\lor} Q \).
3) Applicando la P.O.S trovo \(\displaystyle y=P \lor \lnot Q\).
4) Applicando la S.O.P trovo \(\displaystyle y=P \land \lnot Q \).
5) Questa è il complementare della seconda, quindi \(\displaystyle y=\lnot (P \underline{\lor} Q) \)
1) Applicando la regola P.O.S (Product of sums, prodotti di somme) trovo \(\displaystyle y=P \lor Q\).
2) Applicando la regola S.O.P (Sum of products, somma di prodotti) trovo \(\displaystyle y=(P \land \lnot Q) \lor (\lnot P \land Q)=P \underline{\lor} Q \).
3) Applicando la P.O.S trovo \(\displaystyle y=P \lor \lnot Q\).
4) Applicando la S.O.P trovo \(\displaystyle y=P \land \lnot Q \).
5) Questa è il complementare della seconda, quindi \(\displaystyle y=\lnot (P \underline{\lor} Q) \)
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