Funzione Concava e convessa
Abbiate pazienza ma mi avevano detto che le derivate e integrali sono gli argomenti più facili ma invece mi sembra che non sia così. Cmq ho un problema con questa definizione:
se f(x) è derivabile in [a,b] ^ Si ammette derivata seconda in (a,b) allora sono equivalenti:
$f(x)$ è convessa in [a,b]
$f'(x)$ è crescente in [a,b]
$f''(x) >=0$ per ogni x appartenente ad (a,b)
Il mio dubbio ma per essere concava è necessario che:
$f'(x)$ è decrescente in [a,b]
$f''(x) <0$ per ogni x appartenente ad (a,b) ?
Negli esercizi vedo che basta che la derivata seconda f sia maggiore o minore di 0 per capire se f è convessa o concava...
se f(x) è derivabile in [a,b] ^ Si ammette derivata seconda in (a,b) allora sono equivalenti:
$f(x)$ è convessa in [a,b]
$f'(x)$ è crescente in [a,b]
$f''(x) >=0$ per ogni x appartenente ad (a,b)
Il mio dubbio ma per essere concava è necessario che:
$f'(x)$ è decrescente in [a,b]
$f''(x) <0$ per ogni x appartenente ad (a,b) ?
Negli esercizi vedo che basta che la derivata seconda f sia maggiore o minore di 0 per capire se f è convessa o concava...
Risposte
Se $A$ è un intervallo aperto non degenere di $\mathbb{R}$ ed $f: A \to \mathbb{R}$ è una funzione due volte derivabile nel suo insieme di definizione, allora $f$ è convessa (risp., concava) in $A$ se $f'(x) \ge 0$ (risp., $f'(x) \le 0$), per ogni $x \in A$. Il segno della derivata prima non c'entra proprio nulla... Ad esempio, la funzione $\mathbb{R} \to \mathbb{R}: x \to x^2$, ovviamente analitica, è convessa in tutto il suo dominio. Eppure non mi pare che $f'$ abbia segno costante...
ma allora che c'entra l'equivalenza?
"Akillez":
se f(x) è due volte derivabile in [a,b], allora sono equivalenti:
i) $f(x)$ è convessa in [a,b]
ii) $f'(x)$ è crescente in [a,b]
iii) $f''(x) >=0$ per ogni x appartenente ad (a,b)
Ti ho già mostrato che, se $f$ è convessa e due volte derivabile in un intervallo (aperto) non necesariamente è crescente. Perciò l'equivalenza qui sopra non è tale - a parte che nelle fantasie di qualche autore...
"DavidHilbert":
Ti ho già mostrato che, se $f$ è convessa e due volte derivabile in un intervallo (aperto) non necesariamente è crescente.
D'altronde non è vero neppure il viceversa: la funzione $f: [-\pi/4, \pi/4]\to\mathbb{R}: x \to sin(x)$ è crescente in tutto il dominio, eppure cambia di concavità attorno allo zero.
grazie 1000, ora è tutto ok.
"Akillez":
grazie 1000, ora è tutto ok.
visto ci sono ti chiedo una cosa:
Ho una derivata seconda di questo tipo
$-1/(4x^(3/2)) + ((e^(-1/x))(1-2x)) / x^4$
in che modo potrei dire quando è negativa o positiva? Perchè è davvero enorme...
Scusami, ma questi son conti, non è matematica. Perciò non aspettarti che ti risponda. Altri verranno, in questo più capaci di me.
ah ok cmq non ti avevo chiesto di farmi il calcolo ma solo come potrei fare per capire quando è positiva o quando no 
Cmq vabbene attendo altre risposte
Cmq vabbene attendo altre risposte
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