Funzione con valore assoulto

[esmozzo]

salve a tutti
ho un rapporto complicato coi valori assoluti:

ho la seguente funzione:


$ y= log | 2 - 1/|logx|| $

il dominio devo far sì che:
a- $|logx| > 0$
b-il denominatore di $1/|logx| != 0$
c-argomento del logaritmo esterno sia diverso da 0 quindi $ 2 - 1/|logx|$

a- ok
b- $x !=1$
c- ???
io faccio $2= 1/|logx|$ --> $2|logx|=1$ -->$|logx^2|= 1$ --> $x^2 = e $ -->$ x= +-sqrt(e)$
quindi $e^(1/2) $ e $-e^(1/2)$
in realtà dovrebbero essere : $e^(1/2) $ e $e^(-1/2)$
dove sbaglio?



secondo problema:
devo fare le casistiche

$|logx| > 0 $ quando $x>1$

quindi quando $x > 1 $

la mia funzione vale $ y= log | 2 - 1/logx |$

mentre se $x < 1 $

la mia funzione vale $ y= log | 2 - 1/log(-x)| $

mentre dovrebbe essere $ y= log | 2 + 1/logx| $
anche qua, dove sbaglio?


grazie a tutti

[Maci86]

Prima cosa che sbagli è la $C.E.$ sul primo logaritmo:
$log(x) -> x>0$
Poi la condizione sul denominatore:
$|log(x) |≠0 -> x≠1$
La condizione del logaritmo esterno è sempre vera, tranne dove si annulla, in quanto abbiamo il modulo. Studiamo il segno dell'argomento del modulo:
$ 2- 1/|log(x)|>0 Rightarrow |log(x)|>1/2 Rightarrow xe^(1/2)$
La seconda parte è sbagliata proprio perché è sbagliata la prima condizione:
$0 $ log|2-1/|log(x)||= log(2-1/-log(x))= log(2+1/log(x))$
$e^-1/2 $ log|2-1/|log(x)||= log(-(2 +1/log(x)))$
$1 $ log|2-1/|log(x)||= log( -2 +1/log(x))$
$e^1/2 $ log|2-1/|log(x)||= log(2-1/log(x))$

[esmozzo]

ora le cose mi tornano grazie mille.

volevo anche chiedervi per la derivata di questa funzione:

$ (x^2-4)e^(-|x|)$

la mia funzione vale con $x>0$
$ (x^2-4)e^(-x)$

e con $x<0$
$ (x^2-4)e^(x)$

le due derivate quindi sono:

$f'(x)= {(( 2x*e^(-x) - e^(-x)(x^2-4)), x>0) , (( 2x*e^(x) +e^(x)(x^2-4)), x<0):} $

studiando la prima (x>0)
$e^(-x) >0 $ sempre e $x< 1-sqrt(5)$ e $x> 1+sqrt(5)$

facendo il prodotto dei segni $x< 1-sqrt(5)$ e $x> 1+sqrt(5)$
e visto che questa vale quando $x>0$ la mia funzione decresce da $(0, 1+sqrt(5))$ e cresce da $1+sqrt(5), infty)$

studiando la seconda(x<0)
$e^(x) >0 $ sempre e $x< -1-sqrt(5)$ e $x> -1+sqrt(5)$
facendo il prodotto dei segni $x< -1-sqrt(5)$ e $x> -1+sqrt(5)$
e dato che questa vale quando $x<0$ la mia funzione decresce da $(-1-sqrt(5), 0)$ e cresce da $(-infty,-1-sqrt(5)) $

anche qua sbaglio:
dovrebbe venire crescente da $(-infty,-1-sqrt(5)) $ e $(0,1+sqrt(5)) $
e decrescente da $(-1-sqrt(5),0) $ e $(1+sqrt(5),infty) $

[esmozzo]

problema risolto... scordavo di cambiare il $>$ in $<$