Funzione con valore assoluto convessa

[zio_mangrovia]

Non capisco come la funzione seguente sia considerata convessa:

$f(x)=abs(x-1)$

la posso scindere in:

$x-1$ per $x>=1$
$1-x$ per $x<1$

quindi la derivata prima è rispettivamente $1$ e $-1$ e le derivate seconde tutte e due $0$, quindi il fatto che le due derivate abbiano lo stesso valore cioè $0$ fa si che sia convessa?
Poi $x=1$ non è derivabile ma non capisco una cosa, credevo che se non esiste la derivata prima nel punto automaticamente non esistesse neppure la derivata seconda ma credo proprio di sbagliarmi.

[Seneca1]

In questo caso devi ricorrere alla definizione. Per asserire qualcosa sulla convessità di quella funzione andando a guardare le derivate seconde dovresti avere una funzione $C^2(\RR)$.

Quella funzione non è derivabile in $x = 1$; la derivata salta in $x =1$ e pertanto risulta a sua volta non derivabile (non è continua).

[zio_mangrovia]

Sono d accordo con te ma infatti non mi torna perché la soluzione dice che è convessa.
Dava queste possibilità:

Derivabile ovunque
Surgettiva
Iniettiva
Convessa
Nessun delle altre.


Io avevo scelto nessuna delle altre ma dice che è buona la quarta risposta.

[Seneca1]

Quella funzione è convessa, non ho scritto il contrario. Prova a verificarlo direttamente tramite la definizione (senza guardare derivate prime e seconde).

[zio_mangrovia]

"Seneca":Quella funzione è convessa, non ho scritto il contrario. Prova a verificarlo direttamente tramite la definizione (senza guardare derivate prime e seconde).

Quindi data la definizione:

Una funzione di $ f : I → RR$e detta convessa se, considerato un qualsiasi intervallo $[x1,x2] ⊆ I$, il valore che la funzione assume in corrispondenza dei punti di tale intervallo è non maggiore del valore che gli stessi punti ricevono dall’equazione della corda congiungente i punti $(x1, f(x1))$ e $(x2, f(x2))$

In questo caso mettiamo da parte le derivate prime e seconde e quindi ci rifacciamo al concetto grafico? Cioè tutti i punti che la funzione assume nell'intervallo $[x1,x2]$ devono trovarsi tutti sotto la corda che unisce i due punti. Corretto?