Funzione con punto angoloso

[Fonzio1]

Ciao! nella funzione
$f(x)=sen(x) + |sen(x)| + (1/2)ln(1+x^2)$
devo scoprire se ci sono punti angolosi. Dunque, i punti angolosi si hanno quando il limite destro e sinistro della derivata della funzione in un punto sono finiti ma diversi. Ma in questa funzione, data la presenza del $|sen(x)|$ è proprio necessario fare il normale procedimento?

[porzio1]

osserva che in un intorno sufficientemente piccolo di zero si ha

$f(x)=2senx+1/2ln(1+x^2)$ per $x geq0$
$f(x)= 1/2ln(1+x^2)$ per $x<0$

[Fonzio1]

Sì, avevo fatto questo! Ma la questione, che in effetti non avevo spiegato, è: graficamente, dato che $senx$ e $-senx$ formano un punto angoloso (anzi, tanti ) non potrei semplicemente far notare la cosa e rispondere così?

[gugo82]

Beh, effettivamente, dato che \(f(x) = (\sin x + |\sin x|) + 1/2 \ln (1+x^2)=:g(x) + h(x)\) con \(h\in C^\infty (\mathbb{R})\), è evidente che gli unici punti in cui \(f\) non è derivabile corrispondono a punti in cui non è derivabile \(g(x) = \sin x + |\sin x|\).
Dato che \(g\) ha punti angolosi nei punti in cui il seno cambia segno, cioé in \(x_k=k\pi\) con \(k\in \mathbb{Z}\), è evidente che \(f\) ha negli stessi punti dei punti angolosi.

[Fonzio1]

Proprio la conferma che volevo Grazie