Funzione con prolungamento per continuità

[andre85-votailprof]

Salve,
dovrei risolvere questa funzione che ho trovato in un compito d'esame:

$f(x)=e^(-1/x^2)*sqrt(((2+x)/x))$

a) Determinare il dominio e gli eventuali asintoti (Già fatto);
b) provare che è prolungabile per continuità nel punto $x_0=0$.
Detto g(x) il prolungamento per continuità di f(x) studiare:
c) Studiare la derivabilità di g;
d) determinare gli intervalli di monotonia e gli eventuali estremi relativi di g;
e) Tracciare un grafico approssimativo di g.

Mi servirebbe, per favore, una mano per il punto b. Non ho chiaro il concetto di prolungamento di una funzione. Vi ringrazio in anticipo.

[Lord K]

Visto che $x=0$ non è nel dominio della funzione, prolungare $f$ significa semplicemente valutare se è possibile assegnare un valore a quel punto per ottenere la continuità della funzione

[andre85-votailprof]

"Lord K":Visto che $x=0$ non è nel dominio della funzione, prolungare $f$ significa semplicemente valutare se è possibile assegnare un valore a quel punto per ottenere la continuità della funzione

Ehm... E la funzione g(x) come si ricava?

[Lord K]

Sarà fatta come:

$g(x) = {(f(x) text{ per } x!=0),(x_0 text{ per } x=0):}$

dove:

$lim_(x \to 0) f(x) = x_0$

Ovviamente $x_0$ deve avere un valore finito.

[andre85-votailprof]

Fino a qui ci siamo. Quindi per verificare se una funzione è prolungambile in un punto bisogna calcolare il limite per x tendente a tale punto della funzione. Si trova un numero e dopo di che si può scrivere la g(x).. Spero di aver capito bene.

Adesso dovrei studiare la derivabilità di g(x). Un attimo.. in questo caso come devo comportarmi? Devo calcolare $g'(x)=f'(x)$ per x diverso da zero. Nel caso di g(x)=0 per x=0 invece?