Funzione con parametri

[gcappellotto]

Salve a tutti
ho il seguente problema:
Sono assegnate le funzioni in $x$ $(x^4+ax^2+b)/(x^2+1)$ dove a,b sono parametri reali.
Fra le funzioni $f(x)$ trovare quella per cui la curva k di equazione y=f(x) sia tangente all'asse x in 2 punti distinti.

Soluzione:

$f'(x)=2x(x^4+2x^2+a-b)/(x^2+1)^2$
La derivata si annulla in $x=0$ però deve annullarsi in almeno un altro punto .
$x^4+2x^2+a-b=0$
$t=x^2$
$t^2+2t+a-b=0$
$t=-1\pm \sqrt(1-a+b)$
$1-a+b>0$
Però mi sembra che non mi porti a nulla.
Gradirei qualche indicazione.

Grazie e saluti
Giovanni

[gio73]

Ciao Giovanni, allora affinchè la nostra funzione "tocchi" l'asse x è necessario avere un punto di minimo o un punto di massimo tale per cui $f(x_m o)=0$, sei d'accordo?

[Palliit]

Deve avere due o almeno due punti di tangenza con l'asse $x$ ? E' differente.

[gcappellotto]

è scritto testualmente "in due punti"

[Sk_Anonymous]

Se non ricordo male, si tratta di un problema assegnato alla maturità scientifica. Utilizzando strumenti di livello forse superiore e imponendo la condizione $[x_0!=0]$:

$[x^4+ax^2+b=(x-x_0)^2(x+x_0)^2] rarr [x^4+ax^2+b=x^4-2x_0^2x^2+x_0^4] rarr \{(a=-2x_0^2),(b=x_0^4):}$

Sono infinite le funzioni che soddisfano quella proprietà. Se non ricordo male, il punto successivo richiedeva lo studio della funzione per $[x_0^2=1]$.

[gcappellotto]

Ho verificato, il risultato è perfetto. Molte grazie.
Giovanni