Funzione con base dell'esponente diversa
buona sera, scusate ma mi è sorto un dubbio:
quando mi trovo davanti ad una funzione del genere:
$ sqrt(2^(1/x)-2) $
per il dominio mi basta fare: $ 1/x-1= (1-x )/x geq 0 $
e se invece la base è diversa?
tipo:
$ sqrt(2^(1/x)-1) $
come si procede?
grazie mille per l'aiuto...
quando mi trovo davanti ad una funzione del genere:
$ sqrt(2^(1/x)-2) $
per il dominio mi basta fare: $ 1/x-1= (1-x )/x geq 0 $
e se invece la base è diversa?
tipo:
$ sqrt(2^(1/x)-1) $
come si procede?
grazie mille per l'aiuto...
Risposte
Nel caso specifico, puoi osservare che $1=2^0$.
per $2^(1/x)-1>=0$
userei i logaritmi:
$log(2)^(1/x)>=1=loge$
alla fine mi viene:
$(-oo;og2]$
spero sia corretto.
userei i logaritmi:
$log(2)^(1/x)>=1=loge$
alla fine mi viene:
$(-oo;og2]$
spero sia corretto.
No Clever, non va.
Se hai
[tex]$2^{\frac{1}{x}}>1$[/tex]
allora passando al log naturale
[tex]$\log{2^{\frac{1}{x}}}>\log{1}$[/tex]
[tex]$\frac{1}{x}\log{2}>0$[/tex]
cioè
[tex]$x>0$[/tex]
Giusy, quando è così, passa sempre al logaritmo naturale, mantenedo il verso della disuguaglianza: infatti il logaritmo naturale è crescente come funzione, essendo la sua base maggiore di $1$.
Se hai
[tex]$2^{\frac{1}{x}}>1$[/tex]
allora passando al log naturale
[tex]$\log{2^{\frac{1}{x}}}>\log{1}$[/tex]
[tex]$\frac{1}{x}\log{2}>0$[/tex]
cioè
[tex]$x>0$[/tex]
Giusy, quando è così, passa sempre al logaritmo naturale, mantenedo il verso della disuguaglianza: infatti il logaritmo naturale è crescente come funzione, essendo la sua base maggiore di $1$.
$2^\frac{1}{x}-1> 0$
$2^\frac{1}{x}> 1$
$\log (2^\frac{1}{x}) > \log 1$
$1/x > 0$
E' vero che $\log e=1$ ma se applichi il logaritmo ad ambo i membri - cosa che teoricamente si può fare per vari motivi (iniettività degli esponenziali, iniettività del logaritmo ecc...) - devi applicare il logaritmo ad ambo i membri
Buona serata a tutti...
[EDIT] Ho visto che ha risposto steven mentre scrivevo ed ha scritto praticamente quello che ho scritto io!
$2^\frac{1}{x}> 1$
$\log (2^\frac{1}{x}) > \log 1$
$1/x > 0$
E' vero che $\log e=1$ ma se applichi il logaritmo ad ambo i membri - cosa che teoricamente si può fare per vari motivi (iniettività degli esponenziali, iniettività del logaritmo ecc...) - devi applicare il logaritmo ad ambo i membri
Buona serata a tutti...
[EDIT] Ho visto che ha risposto steven mentre scrivevo ed ha scritto praticamente quello che ho scritto io!
Ma perchè non usare un bel [tex]$\log_2$[/tex]?
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