Funzione composta n-volte

[antonio2194]

salve a tutti e scusate la mia ignoranza vorrei capire come si svolge il seguente esercizio:
sia f(x)=8x+4... si scriva la funzione composta n-volte della funzione f...

[ciampax]

Inzia a calcolare $f^2(x)=f(f(x))$ e $f^3(x)=f(f(f(x)))$: vedrai che viene fuori qualcosa di intuitivo. Dopodiché, puoi dimostrare che la regola che scrivi è vera usando il principio di induzione.

[antonio2194]

grazie mille gentilissimo:) correggimi se sbaglio: f^2(x)= 8(8x+4)+4 = 64x+36.... f^3(x)= 8(64+36x)+4= 512x+292

[ciampax]

Esatto. Ora vedi se riesci a capire quale può essere la forma generale. Osserva che hai qualcosa del tipo $a_n x+b_n$ dove $a_n,\ b_n$ sono due costanti che dipendono da $n$.

[antonio2194]

Non ci riesco! avevo gia capito che a e b erano costanti dipendenti da n... ma nn riesco proprio a capire come si fa!!:(

[ciampax]

Cominciamo dal primo: abbiamo $f^2(x)=8^2 x+4(8+1)$, sei d'accordo? Ora, nel secondo, avremo
$$f^3(x)=8^3 x+8[4(8+1)]+4=8^3 x+4[8^2+8+1]$$
Ora riesci a tira fuori una "formuletta" per $a_n$ e $b_n$?

[antonio2194]

nn so se sia giusta ma ci provo: (a^n)x+b[(a^n-1)+(a^n-2)+......+(a^n-n)]

[ciampax]

Quindi questa
$$f^n(x)=8^n x+4\sum_{k=0}^{n-1} 8^k$$
Usando il fatto che $\sum_{k=0}^N q^k=\frac{q^{N+1}-1}{q-1}$ possiamo anche scrivere
$$f^n(x)=8^n x+4\frac{8^n-1}{7}$$
Ora sapresti dimostrare questa cosa con l'induzione?

[antonio2194]

guarda sono riuscito finalmente a capire come si svolge l''esercizio... ma se devo essere sincero nn so cosa sia bene il principio di induzione... o meglio il prof lo ha spiegato ma in maniera molto ma molto confusa

[gugo82]

Potresti leggere qui per la prima forma del Principio di Induzione Matematica, e qui per la seconda forma.

[grimx]

Salve,
mi sono interessato alla discussione ed ho provato a dimostrare per induzione che $f^n(x)=8^nx+4(8^n-1)/7$ .. dato che non sono per niente esperto mi piacerebbe se mi diceste se ho detto tante cavolate ( )
la metto in Spoiler:

Iniziamo con il controllare la base dell'induzione con $n=1$ ci viene che $f(x)=8x+4$ che evidentemente è vera.
Dimostriamo ora il passo induttivo assumendo come ipotesi che $f^n(x)=8^nx+4(8^n-1)/7$ sia vera, allora otteniamo:
$f^(n+1)(x)=8^(n+1)x+4(8^(n+1)-1)/7$ ora questa cosa è vera poichè sappiamo dalle ipotesi che $f^n(x)=8^nx+4(8^n-1)/7$.infatti $f^(n+1)(x)=f^n(f(x))$ facendo i calcoli otteniamo lo stesso risultato ottenuto prima.
Allora abbiamo dimostrato che $f^n(x)=8^nx+4(8^n-1)/7$

Scusate ancora se ho sbagliato, o se ho usato termini inappropriati, mi piacerebbe sapere come si fa.
Grazie

[gugo82]

@ grmix: L'induzione non si usa così (o almeno non sempre).
L'idea è questa: prova ad usare l'ipotesi induttiva per calcolare esplicitamente \(f^{n+1}(x) := f(f^n(x))\) e dimostra che l'espressione così ottenuta coincide con \(8^{n+1} x + \frac{8^{n+1} -1}{7}\).

[ciampax]

Puoi osservare che $f^{n+1}(x)=f(f^n(x))$, pertanto, supponendo che la formula scritta valga per $n$, provare ad applicare nuovamente $f$ e vedere cosa viene fuori.

EDIT: preceduto da Gugo!

[grimx]

Mi avete preceduto tutti quanti mentre stavate scrivendo mi è venuto in mente quello che avete detto e ho modificato la mia dimostrazione
Ovviamente non so se è giusto..