Funzione composta e Limiti Notevoli
Sono nuovo e sono caduto su questo esercizio, credo da scomporre per poi vedere a cosa tenda ciascun sottogruppo di funzioni, ma il professore mi sembra lo svolgesse facendo una derivata 
............. solo che non svolgeva tutto l'esercizio e puntava direttamente ai risultati tagliando corto con tutti i passaggi. E dunque ritrovandomi dopo del tempo a doverne svolgere di simili, mi sta risultando un po' confusionario e difficile da solo, ma sarà sicuramente per la maggior parte panico pre esame 
... mi blocco ai passaggi da effettuare perchè non li ho mai visti svolgere. In quale categoria si potrebbe inserire codesto esercizio? Ho studiato da Sbordone e da libri del 2015, anche molto recenti dunque, che mi sembrano mooolto esaustivi, ma esercizi del genere non ne ho trovati. Spero che la risoluzione dettagliata di questo tipo di esercizio tra una settimana mi sia ben chiara avendo studiato Analisi e dunque vi posto direttamente il testo da immagine creata da me... spero vi sia utile anche per altri utenti 
............. solo che non svolgeva tutto l'esercizio e puntava direttamente ai risultati tagliando corto con tutti i passaggi. E dunque ritrovandomi dopo del tempo a doverne svolgere di simili, mi sta risultando un po' confusionario e difficile da solo, ma sarà sicuramente per la maggior parte panico pre esame ... mi blocco ai passaggi da effettuare perchè non li ho mai visti svolgere. In quale categoria si potrebbe inserire codesto esercizio? Ho studiato da Sbordone e da libri del 2015, anche molto recenti dunque, che mi sembrano mooolto esaustivi, ma esercizi del genere non ne ho trovati. Spero che la risoluzione dettagliata di questo tipo di esercizio tra una settimana mi sia ben chiara avendo studiato Analisi e dunque vi posto direttamente il testo da immagine creata da me... spero vi sia utile anche per altri utenti
Risposte
Credo che il testo continui con $x=1$.
Dunque per calcolare la derivata non devi far altro che applicare le regole del calcolo, certo che in questo caso saranno parecchio tediose.
Però se quello che ti interessa è solo l'equazione della retta tangente (se esiste) per $x=1$ allora io ti consiglio semplicemente di applicare la definizione di deriva per $x=1$ ; prima di fare ciò ci conviene controllare che la funzione sia continua in $1$ per ciò calcoliamo il seguente limite e vediamo se è pari a zero.
$$
\lim_{x\to 1}\frac{\left[\sin^2(x-1)\right]\left[\cos^2(x-1)\right]\left[\tan \left(1-2^{\ln|x|}\right)\right]^3}{(x-1)\left[\ln|x|\right]^3\left[1+\log_{0.5}(x^2-x+1)\right]}
$$
Qui dovrebbero balzarti all'occhio parecchi limiti notevoli, o parecchi asintotici (che io preferisco) come $\sin^2(k)\approx (k)^2$ come $\cos^2(k) \approx 1-(k)^2$ e ancora $2^k \approx 1 + \ln(2) k$ e ancora che $\ln^3(1+k) \approx k^3$ ed infine che $\tan^3(k)\approx k^3(1-k^3)$ tutte valide per $k\to 0$ indipendentemente da chi sia $k$ l'importante è che tenda a zero.
Con l'aiuto delle precedenti relazioni sostituendo i $k$ appropriati dovresti ottenere che il precedente limite è nullo quindi la funzione è continua per $x=1$, a questo punto per calcolare la derivata in uno con la definizione (che è molto più semplice che calcolarla con le regole del calcolo) devi calcolare il limite del rapporto incrementale, e poiché $f(1)=0$ il limite diventa banalmente
$$
\lim_{x\to 1}\frac{\left[\sin^2(x-1)\right]\left[\cos^2(x-1)\right]\left[\tan \left(1-2^{\ln|x|}\right)\right]^3}{(x-1)^2\left[\ln|x|\right]^3\left[1+\log_{0.5}(x^2-x+1)\right]}
$$
che è praticamente identico al primo, solo che questo limite è pari $-ln^3(2)$ grazie al termine extra a denominatore.
Nel caso avessi ancora problemi non esitare a chiedere.
Dunque per calcolare la derivata non devi far altro che applicare le regole del calcolo, certo che in questo caso saranno parecchio tediose.
Però se quello che ti interessa è solo l'equazione della retta tangente (se esiste) per $x=1$ allora io ti consiglio semplicemente di applicare la definizione di deriva per $x=1$ ; prima di fare ciò ci conviene controllare che la funzione sia continua in $1$ per ciò calcoliamo il seguente limite e vediamo se è pari a zero.
$$
\lim_{x\to 1}\frac{\left[\sin^2(x-1)\right]\left[\cos^2(x-1)\right]\left[\tan \left(1-2^{\ln|x|}\right)\right]^3}{(x-1)\left[\ln|x|\right]^3\left[1+\log_{0.5}(x^2-x+1)\right]}
$$
Qui dovrebbero balzarti all'occhio parecchi limiti notevoli, o parecchi asintotici (che io preferisco) come $\sin^2(k)\approx (k)^2$ come $\cos^2(k) \approx 1-(k)^2$ e ancora $2^k \approx 1 + \ln(2) k$ e ancora che $\ln^3(1+k) \approx k^3$ ed infine che $\tan^3(k)\approx k^3(1-k^3)$ tutte valide per $k\to 0$ indipendentemente da chi sia $k$ l'importante è che tenda a zero.
Con l'aiuto delle precedenti relazioni sostituendo i $k$ appropriati dovresti ottenere che il precedente limite è nullo quindi la funzione è continua per $x=1$, a questo punto per calcolare la derivata in uno con la definizione (che è molto più semplice che calcolarla con le regole del calcolo) devi calcolare il limite del rapporto incrementale, e poiché $f(1)=0$ il limite diventa banalmente
$$
\lim_{x\to 1}\frac{\left[\sin^2(x-1)\right]\left[\cos^2(x-1)\right]\left[\tan \left(1-2^{\ln|x|}\right)\right]^3}{(x-1)^2\left[\ln|x|\right]^3\left[1+\log_{0.5}(x^2-x+1)\right]}
$$
che è praticamente identico al primo, solo che questo limite è pari $-ln^3(2)$ grazie al termine extra a denominatore.
Nel caso avessi ancora problemi non esitare a chiedere.
scusami, giusto, alla fine c'era scritto x=1 e y=0
domani controllerò meglio lo svolgimento che mi hai proposto e lo confronto con quello che ho fatto io e ti faccio presente se ho dei dubbi
adesso mi sembra il caso di andare a nanna grazie infinite, a domani!
domani controllerò meglio lo svolgimento che mi hai proposto e lo confronto con quello che ho fatto io e ti faccio presente se ho dei dubbi
adesso mi sembra il caso di andare a nanna grazie infinite, a domani!
vista in questa ottica, preferisco pure io gli asintotici ed ho capito quel che mi hai esplicato e mentalmente facendomi i calcoli dovrebbe proprio venire zero e dopo guardando meglio il rapporto incrementale (e il limite di esso per la derivata) ovviamente rimane lim (x->xo) di f(x)-f(xo)/x-xo e quindi rimane la funzione sù citata-0/x-1 allora ovviamente il denominatore della funzione fratto x-1 si moltiplica e quindi cambia soltanto (x-1)^2 per questo... ok... e con quegli stessi calcoli di prima alla fine dovrebbe risultare -ln^3di2, giusto?
Però vorrei studiare meglio i vari asintotici, dove posso trovare tipo una tabella con gli asintotici elencati, capirli, studiarli? Centra con "o piccolo"? Perché sui libri che ho intrapreso ho trovato pochissimo al riguardo e non si capisce come fare... @_@ e il professore ho compreso che utilizzasse i limiti notevoli (ma in alcuni casi veramente è ostico dividerli per bene l'un l'altro)...
Però vorrei studiare meglio i vari asintotici, dove posso trovare tipo una tabella con gli asintotici elencati, capirli, studiarli? Centra con "o piccolo"? Perché sui libri che ho intrapreso ho trovato pochissimo al riguardo e non si capisce come fare... @_@ e il professore ho compreso che utilizzasse i limiti notevoli (ma in alcuni casi veramente è ostico dividerli per bene l'un l'altro)...
Alla prima domanda la risposta è si.
Per la seconda richiesta, allora qualche asintotico di questo tipo è riportato e dimostrato estesamente nel libro "Analisi Matematica" di Paolo Maurizio Soardi, che in ogni caso ti consiglio a priori di leggere integralmente almeno un paio di volte =).
Però non penso esista una tabella con tutti gli asintotici che ti ho citato, e se esistesse io di certo non la userei perché peccando in memoria mi sarebbe inutile.
Ti posso insegnare piuttosto un metodo per ricavare gli asintotici, ovvero mediante la serie di Taylor.
Allora in un certo senso l'o-piccolo è parte centrale per capire gli asintotici, qui non voglio darti (a meno che tu non pensi sia necessario) una spiegazione rigorosa, però vediamo di arrivarci.
Sia $f$ una funzione reale a valori reali definita in un intorno di un certo punto $x_0$ allora come ben sai per lo sviluppo in serie di taylor la mia funzione valutata in $x$ appartenente a tale intorno, sarà eguale a
$$
f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+o(x-x_0)
$$
questa relazione implica che
$$
\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)}=1
$$
Ti consiglio di provare a verificarlo, è estremamente banale, basta sostituire ad $f(x)$ il proprio sviluppo, e ragionare sulla definizione di o-piccolo.
In ogni caso dal punto di vista applicativo abbiamo ottenuto un grande risultato, perché data una funzione $f$ abbiamo scoperto che $f(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)*(x-x_0)$ per $x\to x_0$ ovviamente è fondamentale precisare alcuni paletti, perché applicare questa relazione a caso può portare fuori strada.
La cosa più importante è che $f$ sia definita in $x_0$ ed in un suo intorno, e che sia ivi derivabile (tot volte) in $x_0$ , insomma devono valere tutte le ipotesi necessarie per poterla sviluppare in serie di Taylor fino all'orine desiderato.
la seconda cosa importante è che se il limite lo stai calcolando per $x\to 1$ allora non è che puoi utilizzare l'asintotico ottenuto con lo sviluppo di taylor in zero, dovrai utilizzare per forza lo sviluppo in $1$; sembra banale ma è importante sottolinearlo.
In terzo luogo, può succedere che l'asintotico così trovato sia troppo "grossolano" e che quindi non porti alla risoluzione del limite ma rimandi ad un altra forma indeterminata, non c'è da spaventarsi, perché sono infiniti gli asintotici che possiamo ottenere con questo metodo, mi spiego meglio: chiamiamo $p_n(x_0)$ il polinomio di taylor arrestato al grado n-esimo, immagino tu sappiamo di cosa sto parlando, ma giusto per essere sicuri scriviamo i primi 4.
\begin{matrix}p_0(x_0)=f(x_0) \\ p_1(x_0)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0) \\ p_2(x_0)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2}f''(x_0)(x-x_0)^2 \\ p_3(x_0)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2}f''(x_0)(x-x_0)^2+\frac{1}{3!}f'''(x_0)(x-x_0)^3\end{matrix}
allora è semplice dimostrare che $f(x)\approx p_n(x_0)$ per $x\to x_0$ ovviamente lo ripeto ancora, sempre ammesso che $p_n(x_0)$ esista e cioè che siano verificate le ipotesi necessarie.
Tutto qui. Gli asintotici che ti ho fornito li ho ottenuti tutti con questo metodo, anche se alcuni si possono ricavare agevolmente anche a partire dai limiti notevoli (le due cose sono differenti al livello "logico" nel senso che per dimostrare un limite notevole non dovrei ricorrere all'uso delle derivate, mentre col mio metodo si. Ma a livello operativo le due cose sono indifferenti)
Inoltre se ti stessi chiedendo con quale polinomio è corretto approssimare la funzione, la risposta è provali tutti.
Se approssimi con un polinomio di grado troppo basso non riuscirai a risolvere il limite, se approssimi con un polinomio troppo alto non fa niente, i termini superflui tenderanno zero rispetto ai termini necessari(questo prova a dimostrarlo o a verificarlo).
EDIT: chiaramente non tutti i limiti possono essere risolti con gli asintotici, però la maggior parte dei limiti "da esame" si.
Per la seconda richiesta, allora qualche asintotico di questo tipo è riportato e dimostrato estesamente nel libro "Analisi Matematica" di Paolo Maurizio Soardi, che in ogni caso ti consiglio a priori di leggere integralmente almeno un paio di volte =).
Però non penso esista una tabella con tutti gli asintotici che ti ho citato, e se esistesse io di certo non la userei perché peccando in memoria mi sarebbe inutile.
Ti posso insegnare piuttosto un metodo per ricavare gli asintotici, ovvero mediante la serie di Taylor.
Allora in un certo senso l'o-piccolo è parte centrale per capire gli asintotici, qui non voglio darti (a meno che tu non pensi sia necessario) una spiegazione rigorosa, però vediamo di arrivarci.
Sia $f$ una funzione reale a valori reali definita in un intorno di un certo punto $x_0$ allora come ben sai per lo sviluppo in serie di taylor la mia funzione valutata in $x$ appartenente a tale intorno, sarà eguale a
$$
f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+o(x-x_0)
$$
questa relazione implica che
$$
\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)}=1
$$
Ti consiglio di provare a verificarlo, è estremamente banale, basta sostituire ad $f(x)$ il proprio sviluppo, e ragionare sulla definizione di o-piccolo.
In ogni caso dal punto di vista applicativo abbiamo ottenuto un grande risultato, perché data una funzione $f$ abbiamo scoperto che $f(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)*(x-x_0)$ per $x\to x_0$ ovviamente è fondamentale precisare alcuni paletti, perché applicare questa relazione a caso può portare fuori strada.
La cosa più importante è che $f$ sia definita in $x_0$ ed in un suo intorno, e che sia ivi derivabile (tot volte) in $x_0$ , insomma devono valere tutte le ipotesi necessarie per poterla sviluppare in serie di Taylor fino all'orine desiderato.
la seconda cosa importante è che se il limite lo stai calcolando per $x\to 1$ allora non è che puoi utilizzare l'asintotico ottenuto con lo sviluppo di taylor in zero, dovrai utilizzare per forza lo sviluppo in $1$; sembra banale ma è importante sottolinearlo.
In terzo luogo, può succedere che l'asintotico così trovato sia troppo "grossolano" e che quindi non porti alla risoluzione del limite ma rimandi ad un altra forma indeterminata, non c'è da spaventarsi, perché sono infiniti gli asintotici che possiamo ottenere con questo metodo, mi spiego meglio: chiamiamo $p_n(x_0)$ il polinomio di taylor arrestato al grado n-esimo, immagino tu sappiamo di cosa sto parlando, ma giusto per essere sicuri scriviamo i primi 4.
\begin{matrix}p_0(x_0)=f(x_0) \\ p_1(x_0)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0) \\ p_2(x_0)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2}f''(x_0)(x-x_0)^2 \\ p_3(x_0)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2}f''(x_0)(x-x_0)^2+\frac{1}{3!}f'''(x_0)(x-x_0)^3\end{matrix}
allora è semplice dimostrare che $f(x)\approx p_n(x_0)$ per $x\to x_0$ ovviamente lo ripeto ancora, sempre ammesso che $p_n(x_0)$ esista e cioè che siano verificate le ipotesi necessarie.
Tutto qui. Gli asintotici che ti ho fornito li ho ottenuti tutti con questo metodo, anche se alcuni si possono ricavare agevolmente anche a partire dai limiti notevoli (le due cose sono differenti al livello "logico" nel senso che per dimostrare un limite notevole non dovrei ricorrere all'uso delle derivate, mentre col mio metodo si. Ma a livello operativo le due cose sono indifferenti)
Inoltre se ti stessi chiedendo con quale polinomio è corretto approssimare la funzione, la risposta è provali tutti.
Se approssimi con un polinomio di grado troppo basso non riuscirai a risolvere il limite, se approssimi con un polinomio troppo alto non fa niente, i termini superflui tenderanno zero rispetto ai termini necessari(questo prova a dimostrarlo o a verificarlo).
EDIT: chiaramente non tutti i limiti possono essere risolti con gli asintotici, però la maggior parte dei limiti "da esame" si.
Grazie infinite ... tornando allo svolgimento sù...
faccio una domanda generica così provo a capire meglio, perché ho cancellato una domanda precedente in cui avevo messo due semi svolgimenti, ma potevano essere palesemente sbagliati... l'asintotico che tu metti come log cubo di 1+k che equivarrebbe a k cubo, su cosa lo applichi?
... tornando allo svolgimento sù... faccio una domanda generica così provo a capire meglio, perché ho cancellato una domanda precedente in cui avevo messo due semi svolgimenti, ma potevano essere palesemente sbagliati... l'asintotico che tu metti come log cubo di 1+k che equivarrebbe a k cubo, su cosa lo applichi?
volendo lo puoi applicare al $\log^3(x)$ a denominatore (infatti x tende a 1, quindi torna tutto) ma non è indispensabile, ti serve invece applicarlo a numeratore subito dopo aver applicato l'asintotico della tangente, che ti genera un logaritmo cubo.
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