Funzione complesse di variabile complessa
Salve,
sto incontrato dei problemi nel trattare le funzioni complesse di variabili complesse, ed in particolare le relazioni di causalità tra parte Reale e Parte Immaginaria delle funzioni analitiche.
Tali relazioni affermano che:
$x_r(\omega)=(1/\pi)*P \int_{-\infty}^{\infty}(x_i(\omega'))/(\omega'-\omega)d\omega'$
$x_i(\omega)=-(1/\pi)*P\int_{-\infty}^{\infty}(x_r(\omega'))/(\omega'-\omega)d\omega'$
Dove P indica il Principal Value, $x_r(\omega)$ e $x_i(\omega)$ rispettivamente la parte reale ed immaginaria di $x$.
Devo utilizzare la definizione di PV per giungere ad espressioni alternative per queste relazioni.
Tuttavia a seconda della dimostrazioni che i diversi testi adottano, trovo delle espressioni diverse per PV; una prima forma è la seguente, di carattere generale:
$P\int_{-\infty}^{\infty} f_i(x)dx= \lim_{R \to \infty} \int_{-R}^{R} f_i(x)dx$
In altri testi, invece, facendo ricorso alla derivata del gradino per la introdurre la causalità, definiscono PV come:
$\lim_{\e \to 0+} 1/(j \omega +\e)=P1/(j\omega)+\pi\delta(\omega)$
e poi, dopo aver inserito questa espressione all'interno di una trasformata (temporale) di Fourier, portano l'operatore di PV al di fuori dell'integrale, ottenendo la relazione consueta.
Qualcuno può chiarirmi le idee o consigliarmi un riferimento adatto? Purtroppo i testi che ho consultato si limitano a dimostrare le relazioni in forma classica (con il PV) senza svilupparle in forma alternative, e senza fare esempi analitici che mi possano aiutare.
Grazie infinite per la disponibilità
sto incontrato dei problemi nel trattare le funzioni complesse di variabili complesse, ed in particolare le relazioni di causalità tra parte Reale e Parte Immaginaria delle funzioni analitiche.
Tali relazioni affermano che:
$x_r(\omega)=(1/\pi)*P \int_{-\infty}^{\infty}(x_i(\omega'))/(\omega'-\omega)d\omega'$
$x_i(\omega)=-(1/\pi)*P\int_{-\infty}^{\infty}(x_r(\omega'))/(\omega'-\omega)d\omega'$
Dove P indica il Principal Value, $x_r(\omega)$ e $x_i(\omega)$ rispettivamente la parte reale ed immaginaria di $x$.
Devo utilizzare la definizione di PV per giungere ad espressioni alternative per queste relazioni.
Tuttavia a seconda della dimostrazioni che i diversi testi adottano, trovo delle espressioni diverse per PV; una prima forma è la seguente, di carattere generale:
$P\int_{-\infty}^{\infty} f_i(x)dx= \lim_{R \to \infty} \int_{-R}^{R} f_i(x)dx$
In altri testi, invece, facendo ricorso alla derivata del gradino per la introdurre la causalità, definiscono PV come:
$\lim_{\e \to 0+} 1/(j \omega +\e)=P1/(j\omega)+\pi\delta(\omega)$
e poi, dopo aver inserito questa espressione all'interno di una trasformata (temporale) di Fourier, portano l'operatore di PV al di fuori dell'integrale, ottenendo la relazione consueta.
Qualcuno può chiarirmi le idee o consigliarmi un riferimento adatto? Purtroppo i testi che ho consultato si limitano a dimostrare le relazioni in forma classica (con il PV) senza svilupparle in forma alternative, e senza fare esempi analitici che mi possano aiutare.
Grazie infinite per la disponibilità
Risposte
Up; per cercare di fare qualche prova, mi sapete consigliare quale definizione dell'integrale di Cauchy adottare?
Grazie mille
Grazie mille
Più i problemi si fanno complicati (analisi complessa docet) e meno persone abili per risolverli ci sono... io per esempio non ne so nulla 
o meglio, ne so qualcosa ma non a sufficienza per aiutarti. Abbi solo un poca di pazienza 
o meglio, ne so qualcosa ma non a sufficienza per aiutarti. Abbi solo un poca di pazienza
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo