Funzione complessa: singolarità all'infinito
Determinare l'ordine degli zeri e il tipo delle singolarità al finito e all'infinito, della funzione:
$f(z)=(z^3-2z^2+z)/(z^4-z^3)$
Al finito ho trovato che $z=1$ è uno zero di ordine $1$ mentre $z=0$ è un polo di ordine $2$.
Per determinare la singolarità all'infinito cosa devo fare?
Sostituire $1/w$ al posto di $z$ e fare il lim per $w->+prop$? Mi sembra di aver capito a lezione che il prof faccia così e conclude dicendo che se il lim viene $+prop$ è un polo altrimenti è una singolarità essenziale.
Aspetto qualche illuminazione, grazie
$f(z)=(z^3-2z^2+z)/(z^4-z^3)$
Al finito ho trovato che $z=1$ è uno zero di ordine $1$ mentre $z=0$ è un polo di ordine $2$.
Per determinare la singolarità all'infinito cosa devo fare?
Sostituire $1/w$ al posto di $z$ e fare il lim per $w->+prop$? Mi sembra di aver capito a lezione che il prof faccia così e conclude dicendo che se il lim viene $+prop$ è un polo altrimenti è una singolarità essenziale.
Aspetto qualche illuminazione, grazie
Risposte
In quei conti si fa tendere \(w\) a zero.
Infatti, l'idea per classificare la singolarità in \(\infty\) è quella di applicare un cambiamento di variabile complessa \(z=z(w)\) che porti il punto all'infinito \(\infty\) in un punto al finito \(w_\infty\in \mathbb{C}\) (cioé un cambiamento di variabile per cui accada \(\infty = z(w_\infty)\) sulla sfera di Riemann), e classificare la singolarità in \(w_\infty\) della funzione composta \(\phi (w) := f(z(w))\).
Di solito si ceglie sempre di usare come cambiamento di variabile l'inversione sferica \(z=\frac{1}{w}\), per la quale sulla sfera di Riemann risulta \(\infty = \frac{1}{0}\), cosicché \(w_\infty =0\) e ti basta andare a vedere cosa combina in \(0\) la funzione ausiliaria \(\phi (w) =f(1/w)\), che nel tuo caso è:
\[
\phi (w) = \frac{1-2w+w^2}{w^2-w^3}\; .
\]
L'inversione sferica ha il pregio della semplicità, perciò essa è largamente usata; tuttavia sarebbe lecito usare qualsiasi trasformazione conforme della sfera di Riemann in sé: ad esempio, potresti usare la generica trasformazione di Moebius \(z(w):=\frac{aw+b}{cw+d}\) (con \(a,b,c,d\in \mathbb{C}\) e \(ad-bc\neq 0\)) per la quale risulta \(w_\infty = -d/c\).
Infatti, l'idea per classificare la singolarità in \(\infty\) è quella di applicare un cambiamento di variabile complessa \(z=z(w)\) che porti il punto all'infinito \(\infty\) in un punto al finito \(w_\infty\in \mathbb{C}\) (cioé un cambiamento di variabile per cui accada \(\infty = z(w_\infty)\) sulla sfera di Riemann), e classificare la singolarità in \(w_\infty\) della funzione composta \(\phi (w) := f(z(w))\).
Di solito si ceglie sempre di usare come cambiamento di variabile l'inversione sferica \(z=\frac{1}{w}\), per la quale sulla sfera di Riemann risulta \(\infty = \frac{1}{0}\), cosicché \(w_\infty =0\) e ti basta andare a vedere cosa combina in \(0\) la funzione ausiliaria \(\phi (w) =f(1/w)\), che nel tuo caso è:
\[
\phi (w) = \frac{1-2w+w^2}{w^2-w^3}\; .
\]
L'inversione sferica ha il pregio della semplicità, perciò essa è largamente usata; tuttavia sarebbe lecito usare qualsiasi trasformazione conforme della sfera di Riemann in sé: ad esempio, potresti usare la generica trasformazione di Moebius \(z(w):=\frac{aw+b}{cw+d}\) (con \(a,b,c,d\in \mathbb{C}\) e \(ad-bc\neq 0\)) per la quale risulta \(w_\infty = -d/c\).
Ora mi è più chiaro, grazie. Però non mi trovo con l'espressione di $\varphi(w)$
A me viene $\varphi(w)=(w^3-2w^2+w)/(1-w)$
A me viene $\varphi(w)=(w^3-2w^2+w)/(1-w)$
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