Funzione complessa $f(z)=1/z$

[zoldandavide58]

per definizione z=x+iy abbiamo la parte reale = x e la parte immaginaria = iy

nel caso della funzione complessa $f(z)=1/z$ ---> $f(z)=1/(x+iy)$

come si fà a separare la parte reale da quella immaginaria quando compaiono nel denominatore?

mi sono posto questa domanda mentre stavo studiando la funzione zeta del Riemann per alcuni valori tipo:

$f(1/2+2i)=1/(1^(1/2+2i))+1/(2^(1/2+2i))+1/(3^(1/2+2i))+...$

[axpgn]

Razionalizzi.

$1/(x+iy)*(x-iy)/(x-iy)$

[zoldandavide58]

La ringrazio

ieri avevo già provato a razionalizzare ma avevo qualche dubbio però adesso ho la conferma che era
questa la soluzione

$1/(x+iy)*(x-iy)/(x-iy)=x/(x^2+y^2)-y/(x^2+y^2)i$

parte reale =$x/(x^2+y^2)$

parte immaginaria =$-y/(x^2+y^2)i$

[pilloeffe]

Ciao zoldandavide58,

"zoldandavide58":parte immaginaria $ = −y/(x^2+y^2)i $

Senza la $i$...
Non per essere pignolo, ma di solito quando ci si riferisce alla parte reale e alla parte immaginaria di un numero complesso $z = x + iy$ ci si riferisce ai coefficienti reali $x$ e $y$ e si scrive:

$\text{Re}[z] = x \in \RR $

$\text{Im}[z] = y \in \RR $

Ovviamente nel caso particolare $z = 0 $ si ha $\text{Re}[z] = \text{Im}[z] = 0 $
Nel caso in esame invece si scrive:

$\text{Re}[1/z] = x/(x^2 + y^2) \in \RR $

$\text{Im}[1/z] = - y/(x^2 + y^2) \in \RR $

per $ z \ne 0 $

[zoldandavide58]

Giusto senza la i

come viene indicato nel libro di Elementi di Analisi Complessa che sto studiando da poco

grazie