Funzione complessa con derivate parziali

[anderni]

Ciao a tutti.

Ho un problemino con un esercizio. lo posto per intero per completezza.

Si consideri la funzione complessa $ f(z) = z^2 - z $.

(a) Si mostri che essa e derivabile e se ne calcoli la derivata $ f'(z) $.

(b) Si determinino le funzioni reali $ u=u(x,y) $ e $ v=v(x,y) $ che verificano $\forall (x,y)\in\mathbb{R^2} $
$ f(x+iy) = u(x,y) + iv(x,y)$

(c) Si verichi che
$ f'(x+iy) = \frac{\partial u(x,y)}{\partial x}+i\frac{\partial v(x,y)}{\partial x} $

(Suggerimento: si determinino le funzioni reali $ \alpha(x,y) $ e $ \beta(x,y) $ tali che $ f'(x+iy) =\alpha(x,y)+i\beta(x,y) $)

Per quanto riguarda il punto (a) non ho alcun problema, basta usare la definizione di derivata, limite del rapporto incrementale e si trova facilmente $ f'(z) = 2z-1 $.
Per quanto riguarda i punti successivi non ho idea da dove partire, cosa devo trovare. Premetto che a lezione il prof non le ha trattate, eppure l'ha messo in un appello passato.
Premetto che non mi interessa il risultato finale, ma voglio capire come procedere nello svolgimento di un esercizio simile.

Grazie!

[dissonance]

Per il punto b), scrivi
\[
z=x+iy
\]
e vedi che succede.

[anderni]

Ho ottenuto
$ f( x + iy ) = x^2-y^2+2ixy - x -iy = x^2 -y^2 -x + iy(2x-1) $

e dunque

$ u(x,y) = x^2 -y^2 -x $ e $ v(x,y) = y(2x-1) $

Corretto?

Poi per il punto (c) credo basti confrontare la derivata calcolata in (a)

$ f'(x+iy) = 2(x+iy)-1 $

con le derivate parziali delle funzioni $ u(x,y) $ e $ v(x,y) $.

Sbaglio?