Funzione che associa ad un insieme un numero

[5mrkv]

Sia \(\varphi :\mathcal{R}\rightarrow [0,+\infty]\) una funzione definita sulla famiglia \(\mathcal{R}\) di insiemi del tipo \(A\) unione di intervalli semplici \((a,b)\) di \(\mathbb{R}^{n}\) e mutuamente disgiunti. Essa è definita come \(\varphi(A)=\sum m(I_{n})\) con \(m(I)=\Pi (b_{i}-a_{i})\). Ovvero se \(A\) è formata dall'unione di due cubi \(\varphi\) da la somma dei due volumi.

Sia ha che \(\varphi\) è regolare se \(\forall A \forall \epsilon >0 \exists \) \(F\) chiuso \(\in \mathcal{R}\) e \(G\) aperto \(\in \mathcal{R}\) con \(F\subset A\subset G\) tali che
\[
\varphi(G)-\epsilon \leq \varphi(A) \leq \varphi(F)+\epsilon
\]
Si dimostra allora che \(\varphi\) è regolare. Ora mi chiedo, che significa? Perché questi due particolari insiemi uno chiuso ed uno aperto se la misura degli insiemi ignora la loro condizione di chiusi od aperti? E' uguale richiedere
\[
\varphi(G)-\epsilon < \varphi(A) < \varphi(F)+\epsilon
\]
? Perché dovendo essere vera per \(\epsilon\) arbitrari mi sembra di si.

[fu^2]

così su due piedi se l'unione è finita le due richieste sono equivalenti, ma se l'unione non è finita potresti avere dei problemi... Anzi con la scelta di $\phi$ che hai fatto potresti avere che $\phi(A)=+\infty$ (tipo se $A=\cup (n,n+1)$) e quindi, se richiedi una maggiorazione stretta, non puoi farcela a trovare il chiuso $F$.
In questo caso le due richieste sono diverse.

[5mrkv]

Se \(\varphi\) è solo additiva e non contabilmente additiva? Perché in questo caso non potrei portare fuori l'unione degli infiniti intervalli.