Funzione caratteristica della distribuzione gamma
Ciao a tutti. Devo dimostrare che la funzione caratteristica della distribuzione Gamma di parametri $\lambda>0$ ed $s>0$ è:
$\Phi(t)=(\lambda / (\lambda-i t))^s$.
In termini analitici, devo far vedere che data
$f(x) = \lambda^s/\(Gamma(s)) x^(s-1) e^(-\lambda x)$ per $x\in ]0,+\infty[$, $f(x)=0$ per $x\in ]-\infty,0]$
per ogni $t\in R$ si ha:
$\int_{R}e^(itx) f(x) dx = (\lambda/(\lambda-i t))^s $ .
Mi è stato detto si usare la formula di inversione di Fourier. Dunque ho impostato la relazione
$f(x)=1/(2\pi) \int_R e^(-itx) (\lambda/(\lambda-i t))^s dt$
ho sostituito ad $f$ la sua espressione e ho cercato di provare che l'identità è vera.
Tuttavia non riesco proprio ad andare avanti con in conti. Mi potreste aiutare?
$\Phi(t)=(\lambda / (\lambda-i t))^s$.
In termini analitici, devo far vedere che data
$f(x) = \lambda^s/\(Gamma(s)) x^(s-1) e^(-\lambda x)$ per $x\in ]0,+\infty[$, $f(x)=0$ per $x\in ]-\infty,0]$
per ogni $t\in R$ si ha:
$\int_{R}e^(itx) f(x) dx = (\lambda/(\lambda-i t))^s $ .
Mi è stato detto si usare la formula di inversione di Fourier. Dunque ho impostato la relazione
$f(x)=1/(2\pi) \int_R e^(-itx) (\lambda/(\lambda-i t))^s dt$
ho sostituito ad $f$ la sua espressione e ho cercato di provare che l'identità è vera.
Tuttavia non riesco proprio ad andare avanti con in conti. Mi potreste aiutare?
Risposte
Vedo che questo vecchio messaggio è ben piazzato in Google con le parole chiave "funzione caratteristica legge gamma" e che però risulta senza risposte, così lo riesumo io... Secondo me potrebbe essere spostato in Probabilità e statistica, che ne dite?
Ho visto una dimostrazione che calcola semplicemente l'integrale contenente numeri complessi come un qualunque integrale con coefficienti reali, senza dare spiegazioni, così:
$\Phi(t)=\int_0^{\infty}e^{itx}{\lambda^s}/{\Gamma(s)}e^{-\lambda x}x^{s-1}dx=({\lambda}/{\lambda-it})^s\int_0^{\infty}{(\lambda-it)^s}/{\Gamma(s)} e^{-(\lambda-it)x}x^{s-1}dx=({\lambda}/{\lambda-it})^s$
perché l'ultimo integrale è l'integrale della densità $\Gamma(s,\lambda-it)$ che è quindi uguale a 1.
Cosa c'è sotto?
Me lo chiedo perché altrove leggo che la dimostrazione (purtroppo non fornita) dell'uguaglianza
$\int_0^{\infty}\alpha^sx^{s-1}e^{-\alpha x}dx=\Gamma(s)$ (con $\alpha$ numero complesso)
passa attraverso l'integrazione circolare di funzioni analitiche a variabile complessa... Che io non conosco
Ho visto una dimostrazione che calcola semplicemente l'integrale contenente numeri complessi come un qualunque integrale con coefficienti reali, senza dare spiegazioni, così:
$\Phi(t)=\int_0^{\infty}e^{itx}{\lambda^s}/{\Gamma(s)}e^{-\lambda x}x^{s-1}dx=({\lambda}/{\lambda-it})^s\int_0^{\infty}{(\lambda-it)^s}/{\Gamma(s)} e^{-(\lambda-it)x}x^{s-1}dx=({\lambda}/{\lambda-it})^s$
perché l'ultimo integrale è l'integrale della densità $\Gamma(s,\lambda-it)$ che è quindi uguale a 1.
Cosa c'è sotto?
Me lo chiedo perché altrove leggo che la dimostrazione (purtroppo non fornita) dell'uguaglianza
$\int_0^{\infty}\alpha^sx^{s-1}e^{-\alpha x}dx=\Gamma(s)$ (con $\alpha$ numero complesso)
passa attraverso l'integrazione circolare di funzioni analitiche a variabile complessa... Che io non conosco
Tanto per non essere troppo sfacciato con l'up 
aggiungo un misero progresso:
faccio diventare l'integrale $\int_0^{\infty}\alpha^sx^{s-1}e^{-\alpha x}dx$ (con $x$ reale e $\alpha$ numero complesso) un integrale a variabile complessa $z$ con il cambio di variabile $z=\alpha x$, cioè
$\int_C\z^{s-1} e^{-z}dz\ $ dove $C$ sarà un cammino del piano complesso: quale?
aggiungo un misero progresso:faccio diventare l'integrale $\int_0^{\infty}\alpha^sx^{s-1}e^{-\alpha x}dx$ (con $x$ reale e $\alpha$ numero complesso) un integrale a variabile complessa $z$ con il cambio di variabile $z=\alpha x$, cioè
$\int_C\z^{s-1} e^{-z}dz\ $ dove $C$ sarà un cammino del piano complesso: quale?
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