Funzione asintoto obliquo. Dubbio

[21zuclo]

Ciao a tutti, ho un dubbio su questo esercizo più precisamente quando $x\rightarrow-\infty$. Controllate per favore. Grazie in anticipo.

Determinare l'eventuale asintoto obliquo per $x\rightarrow\pm \infty$ di $f(x)=sqrt(x^2+\sin^2 x+x\arctan(e^x))$ e scrivere l'equazione

ho risolto così l'esercizio

$\lim_{x\rightarrow \pm \infty}sqrt(x^2+\sin^2 x+x\arctan(e^x))=\lim_{x\rightarrow \pm \infty} |x|sqrt(1+(\sin^2 x)/(x^2)+(\arctan (e^x))/(x))= \pm \infty$

$m=\lim_{x\rightarrow \pm \infty} (f(x))/x = \pm 1$

ora per $q$ faccio prima $x\rightarrow+\infty$ e poi per $x\rightarrow-\infty$
primo caso $x\rightarrow+\infty$
$q=\lim_{x\rightarrow+\infty}(f(x)-mx)=\lim_{x\rightarrow+\infty} sqrt(x^2+\sin^2 x+x\arctan(e^x))-x=$
$=\lim_{x\rightarrow+\infty} (x^2+\sin^2 x+x\arctan(e^x)-x^2)/(sqrt(x^2+\sin^2 x+x\arctan(e^x))+x)=\lim_{x\rightarrow+\infty} (\sin^2 x+x\arctan(e^x))/(|x|(sqrt(1+(\sin^2 x)/(x^2)+(\arctan (e^x))/(x))+1))=$
$=\lim_{x\rightarrow+\infty}(\sin^2 x+x\arctan(e^x))/(2|x|)=\lim_{x\rightarrow+\infty}((\sin^2 x)/(2|x|)+(x\arctan(e^x))/(2|x|))$

allora $\lim_{x\rightarrow+\infty} (\sin^2 x)/(2|x|)=0$, mentre $\lim_{x\rightarrow+\infty}(x\arctan(e^x))/(2|x|)= \lim_{x\rightarrow+\infty} ((\pi/2)x-\arctan((1)/(e^x)))/(2|x|)=\lim_{x\rightarrow+\infty} ((\pi)/(2)x-(x)/(e^x)+o((1)/(e^x)))/(2|x|)\sim ((\pi)/(2)x)/(2|x|)= \pi/4$ per $x\rightarrow+\infty$

SI CONCLUDE CHE PER $x\rightarrow+\infty \Rightarrow y=mx+q \rightarrow y= x+\pi/4$

secondo caso $x\rightarrow -\infty$
come prima ho razionalizzato

$q=\lim_{x\rightarrow-\infty}(x^2+\sin^2 x+x\arctan(e^x)-x^2)/(sqrt(x^2+\sin^2 x+x\arctan(e^x))-x)=\lim_{x\rightarrow-\infty} (\sin^2 x+x\arctan (e^x))/(|x|(sqrt(1+(\sin^2 x)/(x^2)+(\arctan (e^x))/(x))-1)))=$
$=\lim_{x\rightarrow-\infty}(\sin^2 x+x\arctan (e^x))/(|x|(sqrt(1+(\arctan(e^x))/(x)+o(1/x))-1))=\lim_{x\rightarrow-\infty}(\sin^2 x+x\arctan (e^x))/(|x|(\arctan(e^x))/(2x)+o(1/x))=\lim_{x\rightarrow-\infty} (\sin^2 x+x\arctan (e^x))/(-(\arctan(e^x))/2)=$
$=\lim_{x\rightarrow-\infty}-((2 \sin^2x)/(\arctan(e^x))+2x)$

ecco è qui che mi blocco, magari è giusto, per $x\rightarrow -\infty$ $f(x)=-((2 \sin^2x)/(\arctan(e^x))+2x)\rightarrow +infty$?
perchè io dico che tra questo $(2 \sin^2x)/(\arctan(e^x))$ e la retta $2x$, quando $x\rightarrow-\infty $ prevale la retta.. quindi il suo limite è $+\infty$
e concludo che per $x\rightarrow-\infty$ non esiste asintoto obliquo.

DITEMI se è esatto. Grazie in anticipo

[Palliit]

Ciao.

"21zuclo":$\lim_{x\rightarrow \pm \infty}sqrt(x^2+\sin^2 x+x\arctan(e^x))=\lim_{x\rightarrow \pm \infty} |x|sqrt(1+(\sin^2 x)/(x^2)+(\arctan (e^x))/(x))= \pm \infty$

Come fa una radice quadrata ad avere come limite $- \infty$ ?

[21zuclo]

@Palliit
perchè $\lim_{x\rightarrow \pm \infty} |x|sqrt(1+(\sin^2 x)/(x^2)+ (\arctan(e^x))/(x))=\lim_{x\rightarrow\pm \infty} |x|sqrt(1)= \pm \infty$

per $x\rightarrow \pm \infty$
$(\sin^2 x)/(x^2)\rightarrow 0$ e $(\arctan(e^x))/(x)\rightarrow 0$

ma il mio dubbio era quando calcolo $q=\lim_{x\rightarrow -\infty} (f(x) -mx)$, quando la $x\rightarrow -\infty$

[Palliit]

21zuclo ribadisco: il limite è sbagliato, tende a $+ infty$ in entrambi i casi.

[21zuclo]

"Palliit":21zuclo ribadisco: il limite è sbagliato, tende a $+ infty$ in entrambi i casi.

Si hai ragione! scusa... C'è il valore assoluto... Mentre per quanto riguarda la $q$ per $ x\rightarrow-\infty$?

È corretto? Che non esiste asintoto

[Palliit]

Ciao.

Secondo me sbagli qua:

"21zuclo":$q=\lim_{x\rightarrow-\infty}(x^2+\sin^2 x+x\arctan(e^x)-x^2)/(sqrt(x^2+\sin^2 x+x\arctan(e^x))-x)=\lim_{x\rightarrow-\infty} (\sin^2 x+x\arctan (e^x))/(|x|(sqrt(1+(\sin^2 x)/(x^2)+(\arctan (e^x))/(x))-1)))=$

.

Premesso che in un limite in cui $x \rightarrow -oo$ il modulo $|x|$ può essere soppiantato tranquillamente da $-x$, io farei:

[tex]\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{\sin^2x+x \arctan e^x}{|x|\sqrt{1+\frac{\sin^2 x}{x^2}+\frac{\arctan e^x}{x}}-x}=
\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{x(\frac{\sin^2 x}{x}+\arctan e^x)}{-x\sqrt{1+\frac{\sin^2 x}{x^2}+\frac{\arctan e^x}{x}}-x}=[/tex]

[tex]\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{x(\frac{\sin^2 x}{x}+\arctan e^x)}{-x\left (\sqrt{1+\frac{\sin^2 x}{x^2}+\frac{\arctan e^x}{x}}+1 \right )}=
\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{\frac{\sin^2 x}{x}+\arctan e^x}{-\left (\sqrt{1+\frac{\sin^2 x}{x^2}+\frac{\arctan e^x}{x}}+1 \right )}=0[/tex]

in quanto il numeratore tende in modo evidente a $0$, mentre a denominatore il radicando tende a $1+0+0$ e quindi l'intero denominatore tende a $-2$. Almeno mi pare.

[21zuclo]

Quindi tu dici ke esiste asintoto per $x\rightarrow-\infty$ e l'equazione è $y=-x$

allora attendiamo conferma.. perchè io ho usato lo sviluppo. Però tu dici che sbagliato a raccogliere la $x$ qui?

"Palliit":Ciao.

Secondo me sbagli qua: [quote="21zuclo"]$q=\lim_{x\rightarrow-\infty}(x^2+\sin^2 x+x\arctan(e^x)-x^2)/(sqrt(x^2+\sin^2 x+x\arctan(e^x))-x)=\lim_{x\rightarrow-\infty} (\sin^2 x+x\arctan (e^x))/(|x|(sqrt(1+(\sin^2 x)/(x^2)+(\arctan (e^x))/(x))-1)))=$

.
[/quote]

sì mi sa che hai ragione tu!..

grazie cmq

[Palliit]

Non è sbagliato raccogliere $x$, è sbagliato il segno $-$ davanti all' $1$ dentro parentesi a denominatore. Comunque questo, in blu, il grafico della tua funzione (e in viola della retta $y=-x$ sovrapposto):



Mi sembra che confermi... Ciao.