Funzione asintotica

[leed1]

Salve a tutti! Un esercizio mi chiede di calcolare il seguente limite:

$lim_(x -> log(1/2)) ln(4e^(2x) - 4e^x + 1)$ che è uguale a $-oo$.

Poi mi chiede di calcolare la più semplice funzione asintotica per $x-> log(1/2)$. Sono ore che ci ragione e sinceramente non dove sbatterci la testa.
Grazie anticipatamente

[Seneca1]

Asintotica a cosa? Che significa "più semplice"?

[leed1]

Questo è il testo:
Data la funzione $y= ln(4e^(2x) -4e^x +1)$

Calcolare i limiti alla frontiera del dominio e per ciascuno indicare la più semplice funzione asintotica.

Si tratta di una parte di un compito di Analisi I

[Seneca1]

Per esempio, per $x -> +oo$, la funzione è asintotica a $ln( 4 e^(2x) )$ cioè $ln(4) + 2x$ che è una retta.

Per $x -> -oo$ basta calcolare il limite...

Per $x -> ln(1/2)$ non so. Dovrei pensarci un attimo (ora non ho tempo).

[leed1]

Il problema è l'ultimo limite

[Sk_Anonymous]

Probabilmente si possono semplificare i calcoli notando che $4e^(2x)-4e^x+1=(2e^x-1)^2$.

[leed1]

Già notata la cosa, ma non capisco in che modo può essermi d'aiuto

[Sk_Anonymous]

$ln(4e^(2x)-4e^x+1)=ln(2e^x-1)^2=2ln(2e^x-1)=2ln(e^(x-log(1/2))-1)$

Ora puoi sviluppare l'esponenziale.

[leed1]

Uhm...Quindi è asintotica ad $2ln(x - log(1/2))$?

[Sk_Anonymous]

Si tratta di uno sviluppo in serie il cui primo termine tende all'infinito. Se continui lo sviluppo puoi determinare anche la parte finita. Se ti puoi accontentare del primo termine, come la consegna lascia intendere, l'esercizio è finito.