Funzione armonica

[Raphael1]

Ciao! SOno di nuovo alle prese con delle dimostrazioni riguardanti le funzioni armoniche. Non riesco a dimostrare la seguente affermazione:

Sia $\Omega=\{x \in \mathbb{R}^n : |x|>1\}$ e $u\in C^2(\Omega) \cap C(\Omega')$, dove con $\Omega'$ indico la chiusura di $\Omega$, con $\Deltau=0$ a $lim_{|x|\rightarrow \infty}u(x)=0$. Allora

$su p _{x\in\Omega}|u(x)|=max_{x\in \partial\Omega}|u(x)|$

SUggerimenti? Thanks!

[elgiovo]

Considera l'insieme aperto di $RR^N$ $Omega_T={x in RR^N : 1<|x|

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[gugo82]

Applicando la trasformazione di Kelvin con $R=1$ all'aperto illimitato non contenente l'origine $Omega=RR^n-bar(B)(0;1)$, puoi ridurre tutto al Principio del massimo per una funzione armonica in $Omega^**=B(0;1)$.

[Raphael1]

@elgiovo

non mi chiaro cos affermi esattamente il principio di massimo, si tratta del principio di massimo per funzioni armoniche? perchè io l'ho studiato in una forma dove non compariva il sup!

@Gugo82 non ho mai utilizzato la trasformazione di Kelvin

[gugo82]

La soluzione di elgiovo è quella più semplice mi sa.

"Raphael":@elgiovo

non mi chiaro cos affermi esattamente il principio di massimo, si tratta del principio di massimo per funzioni armoniche? perchè io l'ho studiato in una forma dove non compariva il sup!

La regione $Omega_T$ è aperta e non chiusa e pertanto ci vuole il $"sup"$.
Per mettere l'uguaglianza in una forma a te più familiare puoi scriverla $max_(bar(Omega_T)) |u|=max_(\partialOmega_T) |u|$ ove appare il massimo su $bar(Omega_T)$ (la cui esistenza è assicurata dal teorema di Weierstrass, in quanto $bar(Omega_T)$ è chiuso e limitato, ovvero compatto).