Funzione arg e logaritmo trova l'errore

[maxspyderweb]

Salve a tutti,
stavo studiando analisi complessa (per i fisici) e mi sono imbattuto nell'esercizio "trova l'errore" per cui partendo da:

$ z^2=(-z)^2 $

ho che:

$Log(z^2)=Log((-z)^2)$
$2Log(z)=2Log(-z)$
$e^{Log(z)}=e^{Log(-z)$

Seguendo tutti i passaggi capisco che c'è qualcosa che non va con il portare fuori il due nel logaritmo a causa della polidromia della funzione argomento ho che quel "maledetto due" trasforma $log(-z)=log(z)+i\pi$ in $2log(-z)=2log(z)+2i\pi = 2log(z)$

Non mi sono chiare alcune cose e ho bisogno di conferme (si, sono stupide):
a) Log(z) ossia il logaritmo principale è definito con arg(z) compreso tra -pi e pi (quindi la funzione logaritmo ristretta a un codominio che la rende monodroma) mentre log(z) è considerata la vera funzione polidroma.
b) stessa cosa per Arg(z) e arg(z).
c)Nelle soluzioni è scritto che l'errore sta nel portare fuori il due dal logaritmo, in quanto il "2" ossia $Log(z^2) != 2Log(z)$
ma non capisco perchè.
Log(z^2)= Log|z^2|+iArg(z^2) per le proprietà delle funzioni dovrebbe risultare uguale al secondo membro

[Sk_Anonymous]

Preferisco farti un esempio concreto:

$[z=5e^(i3/4pi)] rarr [logz=log5+i3/4pi] rarr [2logz=2log5+i3/2pi]$

$[z=5e^(i3/4pi)] rarr [z^2=25e^(i3/2pi)] rarr [logz^2=log25-ipi/2] rarr [logz^2=2log5-ipi/2]$

Ho utilizzato la notazione $[logz]$ per indicare il logaritmo principale. Ora, se hai compreso il problema, prova tu a generalizzare.

[maxspyderweb]

credo di aver capito, come scritto, il logaritmo principale è definito tra pi e -pi, segue che se scrivo Log(z^2) l'argomento è definito in modo da appartenere all'intervallo -pi
in un certo senso posso dire che 2Log(z)=log(z^2) (fissando un k relativo per soddisfare l'uguaglianza) ma non posso dire che $Log(z^2)=2Log(z)$ tranne se pi/2

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[Sk_Anonymous]

In pratica, se $[z=rhoe^(itheta)]$, $[2logz=logz^2] harr [-pi/2

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[maxspyderweb]

l'ho scritto alla fine =P grazie mille.

[Sk_Anonymous]

Non me n'ero accorto.