Funzione analitica(sviluppo in serie di Mac-Laurin)

[lucia88]

ciao a tutti,
ho la funzione:
$f(x)=(3x-4)/(x^2-3x+2)$
devo dimostrare che è analitica in un intorno dell'origine, determinare lo sviluppo in serie di ML, calcolare $f^v(0)$

Siccome f è definita su $D=R-{2,1}$, l'intorno dell'origine e del tipo $I=(-r,r)$ con $0 Essendo un polinomio $f\inC^(oo)(I)$

Ho calcolato le derivate in 0:

$f(0)=-2=a_0$
$f'(0)=-3/2=a_1$
$f''(0)=-25/4=2a_2$

($\sum f^((k))(0)x^k/ (k!)= \sum a_k x^K$)

Non riesco però a trovare una formula generale per $a_k$, come si fa?


Poi volevo chiedervi se dato:
$E={(x,y)\inR^2: y^2-|x|-1>=0,-1<=y<=1}$ dove $(R^2,d_2)$
è corretto dire che:
1)L'insieme non è limitato => Dunque non è compatto
2) E' chiuso e in particolare contiene la sua frontiera che è $F={(x,y):x=y^2-1,x=-y^2+1,y=1,y=-1}$
3)L'insieme dei punti di accumulazione(insieme derivato) coincide con l'insieme stesso
4)Sia C la chiusura di E, allora: $C=E$
5)sia I l'insieme dei punti interni, si ha $I={(x,y): -1

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Risposte

Quinzio

21 apr 2014, 19:04

"Lucia":ciao a tutti,
ho la funzione:
$f(x)=(3x-4)/(x^2-3x+2)$
devo dimostrare che è analitica in un intorno dell'origine, determinare lo sviluppo in serie di ML, calcolare $f^v(0)$

Siccome f è definita su $D=R-{2,1}$, l'intorno dell'origine e del tipo $I=(-r,r)$ con $0 Essendo un polinomio $f\inC^(oo)(I)$

Ho calcolato le derivate in 0:

$f(0)=-2=a_0$
$f'(0)=-3/2=a_1$
$f''(0)=-25/4=2a_2$

($\sum f^((k))(0)x^k/ (k!)= \sum a_k x^K$)
Non riesco però a trovare una formula generale per $a_k$, come si fa?

$f(x)=(3x-4)/(x^2-3x+2)= $

$(2)/(x-2)+(1)/(x-1)=$

$(-1)/(1-x/2)+(-1)/(1-x)=$

$-\sum_(n=0)^(oo)(x/2)^n-\sum_(n=0)^(oo)x^n=$

$-\sum_(n=0)^(oo)(1+1/2^n)x^n$

Questo è già lo sviluppo di MacLaurin, se vuoi trovare le derivate, devi fare appunto le derivate della sommatoria (è facile).

Per quanto riguarda l'altro esercizio c'è qualcosa che non va, infatti l'insieme è vuoto.

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lucia88

21 apr 2014, 20:03

Ho controllato il grafico con WolframAlpha, alla fine è $E=(0,-1)U(0,1)$ ?
in questo caso l'insieme è chiuso,limitato (quindi compatto essendo sottoinsieme di R^2), ed E coincide con la sua chiusura,con l'insieme derivato e con la frontiera
Oppure sto sbagliando nuovamente?

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[Quinzio]

"Lucia":ciao a tutti,
ho la funzione:
$f(x)=(3x-4)/(x^2-3x+2)$
devo dimostrare che è analitica in un intorno dell'origine, determinare lo sviluppo in serie di ML, calcolare $f^v(0)$

Siccome f è definita su $D=R-{2,1}$, l'intorno dell'origine e del tipo $I=(-r,r)$ con $0 Essendo un polinomio $f\inC^(oo)(I)$

Ho calcolato le derivate in 0:

$f(0)=-2=a_0$
$f'(0)=-3/2=a_1$
$f''(0)=-25/4=2a_2$

($\sum f^((k))(0)x^k/ (k!)= \sum a_k x^K$)
Non riesco però a trovare una formula generale per $a_k$, come si fa?

$f(x)=(3x-4)/(x^2-3x+2)= $

$(2)/(x-2)+(1)/(x-1)=$

$(-1)/(1-x/2)+(-1)/(1-x)=$

$-\sum_(n=0)^(oo)(x/2)^n-\sum_(n=0)^(oo)x^n=$

$-\sum_(n=0)^(oo)(1+1/2^n)x^n$

Questo è già lo sviluppo di MacLaurin, se vuoi trovare le derivate, devi fare appunto le derivate della sommatoria (è facile).

Per quanto riguarda l'altro esercizio c'è qualcosa che non va, infatti l'insieme è vuoto.

[lucia88]

Ho controllato il grafico con WolframAlpha, alla fine è $E=(0,-1)U(0,1)$ ?
in questo caso l'insieme è chiuso,limitato (quindi compatto essendo sottoinsieme di R^2), ed E coincide con la sua chiusura,con l'insieme derivato e con la frontiera
Oppure sto sbagliando nuovamente?