Funzione analitica a valori Operatori / Teorema di Riesz Schauder
Ciao a tutti!
Mi scuso anzitutto per eventuali errori di formattazione o di formulazione della domanda, ma è la prima volta che scrivo su questo bel sito!:)
A breve dovrò affrontare l'esame finale di analisi superiore, e contestualmente dovrò consegnare una tesina su un argomento a piacere collegato al corso. Ho scelto di affrontare l'argomento Operatori Compatti dimostrando il teorema di Riesz-Schauder in maniera alternativa, ovvero utilizzando il teorema analitico di Fredholm (Analytic Fredhom Theorem). Questo afferma precisamente che:
Teorema. Sia $D$ un sottoinsieme aperto e connesso di $\mathbb{C}$. Sia $f: D$ $\rightarrow$ $B(\mathbb{H})$ una funzione analitica a valori operatori tale che $f(z)$ è un operatore compatto per ogni $z \in D$.
Allora si verifica una ed una sola delle seguenti:
(a) $(I-f(z))^(-1)$ esiste per ogni $z \in D$
(b) $(I-f(z))^(-1)$ esiste per ogni $z \in D\setminus S$, ove $S$ è un sottoinsieme di $D$ costituito da punti isolati e privo di punti di accumulazione.
Si noti che $B(\mathbb{H})$ indica l'Algebra degli operatori limitati nello spazio di Hilbert $\mathbb{H}$.
La dimostrazione del teorema procede localmente e poi si estende a tutto $D$ sfruttando la connessione di $D$ stesso come è spiegato nel dettaglio qui http://www.macs.hw.ac.uk/~hg94/pdst11/pdst11_AFTcompact.pdf.
Ho dei problemi nel dimostrare che alcune funzioni sono analitiche: fondamentalmente abbiamo sempre trattato funzioni di variabile complessa a valori complessi, ma in questa dimostrazione si prendono in considerazione funzioni di variabile complessa a valori OPERATORI!
P.e., nei primi passi della dimostrazione, fissato $z_0 \in D$, e scelto $r>0$ opportuno, si può considerare un operatore $F$ di rango finito tale che $\|$ $f(z)-F$ $ \|$ (inteso come norma dell'operatore differenza) sia minore di $1$.
Dunque, per una proprietà caratteristica delle Algebre di Banach, l'operatore $(I-f(z)+F)^-1$ esiste ed è limitato (dove $I$ indica l'operatore identico).
Domandona, come si fa a dimostrare che la funzione $z \in D_r$ $\rightarrow$$(I-f(z)+F)^-1$ è analitica?
Ho provato cercando di verificare che tale operatore è olomorfo, ma non è facile maneggiare composizione di operatori compatti. Quindi credo che si debba procedere con le serie di potenza, ma non ho davvero idea di come si proceda! (Stessa cosa alla fine della dimostrazione quando l'autore afferma che anche la funzione $d(z)$ è analitica.)
Grazie mille in anticipo per il Vostro aiuto!!
Mi scuso anzitutto per eventuali errori di formattazione o di formulazione della domanda, ma è la prima volta che scrivo su questo bel sito!:)
A breve dovrò affrontare l'esame finale di analisi superiore, e contestualmente dovrò consegnare una tesina su un argomento a piacere collegato al corso. Ho scelto di affrontare l'argomento Operatori Compatti dimostrando il teorema di Riesz-Schauder in maniera alternativa, ovvero utilizzando il teorema analitico di Fredholm (Analytic Fredhom Theorem). Questo afferma precisamente che:
Teorema. Sia $D$ un sottoinsieme aperto e connesso di $\mathbb{C}$. Sia $f: D$ $\rightarrow$ $B(\mathbb{H})$ una funzione analitica a valori operatori tale che $f(z)$ è un operatore compatto per ogni $z \in D$.
Allora si verifica una ed una sola delle seguenti:
(a) $(I-f(z))^(-1)$ esiste per ogni $z \in D$
(b) $(I-f(z))^(-1)$ esiste per ogni $z \in D\setminus S$, ove $S$ è un sottoinsieme di $D$ costituito da punti isolati e privo di punti di accumulazione.
Si noti che $B(\mathbb{H})$ indica l'Algebra degli operatori limitati nello spazio di Hilbert $\mathbb{H}$.
La dimostrazione del teorema procede localmente e poi si estende a tutto $D$ sfruttando la connessione di $D$ stesso come è spiegato nel dettaglio qui http://www.macs.hw.ac.uk/~hg94/pdst11/pdst11_AFTcompact.pdf.
Ho dei problemi nel dimostrare che alcune funzioni sono analitiche: fondamentalmente abbiamo sempre trattato funzioni di variabile complessa a valori complessi, ma in questa dimostrazione si prendono in considerazione funzioni di variabile complessa a valori OPERATORI!
P.e., nei primi passi della dimostrazione, fissato $z_0 \in D$, e scelto $r>0$ opportuno, si può considerare un operatore $F$ di rango finito tale che $\|$ $f(z)-F$ $ \|$ (inteso come norma dell'operatore differenza) sia minore di $1$.
Dunque, per una proprietà caratteristica delle Algebre di Banach, l'operatore $(I-f(z)+F)^-1$ esiste ed è limitato (dove $I$ indica l'operatore identico).
Domandona, come si fa a dimostrare che la funzione $z \in D_r$ $\rightarrow$$(I-f(z)+F)^-1$ è analitica?
Ho provato cercando di verificare che tale operatore è olomorfo, ma non è facile maneggiare composizione di operatori compatti. Quindi credo che si debba procedere con le serie di potenza, ma non ho davvero idea di come si proceda! (Stessa cosa alla fine della dimostrazione quando l'autore afferma che anche la funzione $d(z)$ è analitica.)
Grazie mille in anticipo per il Vostro aiuto!!
Risposte
Premesso che ignoro se la mia risposta sia esatta: se per una funzione \(\displaystyle f:\mathbb{C}\to\mathrm{B}(\mathcal{H})\) l'essere olomorfa equivale ad essere analitica, devi dimostrare che tale funzione sia differenziabile alla Fréchet!
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