Funzione analitica
Bongiorno(sera), abbiamo une funzione f definita su C verso C con $f(z)=t^{z}$, potete dir me quanto vale $\lim_{t\longrightarrow{\infty}}{(f(1+iy))}$ ? Grazie !
Risposte
Non siamo su Yahoo!Answers... La netiquette ed il regolamento impongono che proponiate qualche tentativo di soluzione. 
Secondo me vale 1, ma non so dimostrarlo ! Ho fatto qualche tentativi, come :\\
$\lim_{t\rightarrow{\infty}}{(t^{\frac{1}{2}+iy})}=a$\\
$\lim_{t\rightarrow{\infty}}{(t^{iy})}=b$\\
$\lim_{t\rightarrow{\infty}}{(t^{1+iy})}=c$\\
Abbiamo \\
$a^{\frac{-i}{2y}}=ab^{-1}b^{\frac{-1}{4y^2}}$\\
$a^{iy}=b^{\frac{1}{2}+iy}$\\
$a^{\frac{-1}{2}+iy}=b^{iy+\frac{i}{4y}}$\\
$c=a^2b^{-1}$\\
Ma\\
$c^{\frac{-i}{2y}}=ab^{-1-\frac{1}{2y}}=a^{\frac{-i}{y}}b^{\frac{i}{2y}}$\\
Dunque\\
$a^{1+\frac{i}{y}}=b^{1+\frac{1}{2y}+\frac{i}{2y}}$\\
e non so più fuggire delle totologie !\\
Ecco, ho sognato questa soluzione, ma non mi pare assai corretto !\\
Abbiamo\\
$\zeta(1+iy)=\sum_{t=1}^{t=infty}{(\frac{1}{t^{1+iy}})}$\\
$=\prod_{primi}{(\frac{1}{1-p^{-1-iy}})}$\\
e divergente ! dunque il termine generale del prodotto e divergente\\
$\lim_{p\rightarrow{\infty}}{(\frac{1}{1-p^{-1-iy}})}=\infty$\\
$\Rightarrow{\lim_{p\rightarrow{\infty}}{(p^{-1-iy})}=1}$\\
$\lim_{t\rightarrow{\infty}}{(t^{\frac{1}{2}+iy})}=a$\\
$\lim_{t\rightarrow{\infty}}{(t^{iy})}=b$\\
$\lim_{t\rightarrow{\infty}}{(t^{1+iy})}=c$\\
Abbiamo \\
$a^{\frac{-i}{2y}}=ab^{-1}b^{\frac{-1}{4y^2}}$\\
$a^{iy}=b^{\frac{1}{2}+iy}$\\
$a^{\frac{-1}{2}+iy}=b^{iy+\frac{i}{4y}}$\\
$c=a^2b^{-1}$\\
Ma\\
$c^{\frac{-i}{2y}}=ab^{-1-\frac{1}{2y}}=a^{\frac{-i}{y}}b^{\frac{i}{2y}}$\\
Dunque\\
$a^{1+\frac{i}{y}}=b^{1+\frac{1}{2y}+\frac{i}{2y}}$\\
e non so più fuggire delle totologie !\\
Ecco, ho sognato questa soluzione, ma non mi pare assai corretto !\\
Abbiamo\\
$\zeta(1+iy)=\sum_{t=1}^{t=infty}{(\frac{1}{t^{1+iy}})}$\\
$=\prod_{primi}{(\frac{1}{1-p^{-1-iy}})}$\\
e divergente ! dunque il termine generale del prodotto e divergente\\
$\lim_{p\rightarrow{\infty}}{(\frac{1}{1-p^{-1-iy}})}=\infty$\\
$\Rightarrow{\lim_{p\rightarrow{\infty}}{(p^{-1-iy})}=1}$\\
Dato che \(z=1+\imath\ y\) non è intero, la funzione \(t^z\) è polidroma analitica con infinite determinazioni, ognuna delle quali si individua usando una determinazione dell'argomento dell'esponente; poiché \(\operatorname{arg} (1+\imath\ y)= \operatorname{Arg}(1+\imath\ y) +2k\pi\) con \(k\in \mathbb{Z}\) ed \(\operatorname{Arg}(1+\imath\ y)\) argomento principale, si ha:
\[
t^{1+\imath\ y} := \exp \left( t\ \log (1+\imath\ y)\right) = \exp \left( t\ \left( \ln \sqrt{1+y^2} + \imath\ \operatorname{Arg}(1+\imath\ y) +\imath\ 2k\pi \right) \right)
\]
con \(k\in \mathbb{Z}\).
Quindi la domanda è: di quale determinazione della funzione potenza \(t^z\) vuoi calcolare il limite per \(t\to \infty\)?
Inoltre, \(t\) è complesso o reale?
\[
t^{1+\imath\ y} := \exp \left( t\ \log (1+\imath\ y)\right) = \exp \left( t\ \left( \ln \sqrt{1+y^2} + \imath\ \operatorname{Arg}(1+\imath\ y) +\imath\ 2k\pi \right) \right)
\]
con \(k\in \mathbb{Z}\).
Quindi la domanda è: di quale determinazione della funzione potenza \(t^z\) vuoi calcolare il limite per \(t\to \infty\)?
Inoltre, \(t\) è complesso o reale?
"Richie":
Bongiorno(sera), abbiamo une funzione f definita su C verso C con $f(z)=t^{z}$, potete dir me quanto vale $\lim_{t\longrightarrow{\infty}}{(f(1+iy))}$ ? Grazie !
beh...informalmente è mooolto chiaro cosa intendi ma scordatelo che qualcuno possa rispondere a QUELLA (domanda che avevi in mente) qui dentro senza prima andare a pubblicarla...
Cmq...ti interesserà sapere che la funzione $\zeta$ di Riemann ha un polo semplice ($k=1$) con residuo $1$ che puoi analizzare utilizzando la formula di Hadamard
$$
\zeta(s):=\frac{\pi^{\frac{s}{2}}}{\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)}\left\{\frac{1}{s(s-1)}+\int_{1}^{\infty}{\left(x^{\frac{s}{2}-1}+x^{-\frac{s}{2}-\frac{1}{2}}\right)\cdot\left(\frac{\vartheta(x)-1}{2}\right)\,{\rm d}x}\right\}
$$
dove $\vartheta$ è la funzione theta di Jacobi caratterizzata dall'equazione funzionale
$$
x^{\frac{1}{2}}\vartheta(x)=\vartheta\left(x^{-1}\right)
$$
valida per $x>0$
P.S. cmq...tanto per metterti l'anima in pace...il teorema dei numeri primi è conseguenza del fatto che
$$
\zeta(1+iy)\neq 0
$$
ciao
Ho risolto il problema. Abbiamo
$t^{-iy}=e^{-iy\ln{(t)}}=(e^{i{\pi}})^{-\frac{y\ln{(t)}}{\pi}}=(-1)^{-\frac{y\ln{(t)}}{\pi}}$
Dunque
$1^{-\frac{y\ln{(t)}}{{\pi}}}=(-e^{i{\pi}})^{-\frac{y\ln{(t)}}{\pi}}=t^{-iy}.t^{-iy}=t^{-2iy}$
In conseguenza
$\lim_{t\rightarrow{\infty}}{(t^{-2iy})}=1$
E poi
$\lim_{t\rightarrow{\infty}}{(t^{-iy})}=\sqrt{1}=1$
Ma
$t^{-iy}=t^{1-(1+iy)}$
Segue che
$\lim_{t\rightarrow{\infty}}{(t)}=\lim_{t\rightarrow{\infty}}{(t^{1+iy})}$
D'al altra parte
$t=t^{-i(i)}=(t^{-i})^i$
Come
$\lim_{t\rightarrow{\infty}}{(t^{-i})}=1$
Deduciamo che
$\lim_{t\rightarrow{\infty}}{(t)}=1^i=1=\lim_{t\rightarrow{\infty}}{(t^{1+iy})}$
Grazie a voi : avete risposto più di qual che volevo e mi avete messo nella soluzione !
$t^{-iy}=e^{-iy\ln{(t)}}=(e^{i{\pi}})^{-\frac{y\ln{(t)}}{\pi}}=(-1)^{-\frac{y\ln{(t)}}{\pi}}$
Dunque
$1^{-\frac{y\ln{(t)}}{{\pi}}}=(-e^{i{\pi}})^{-\frac{y\ln{(t)}}{\pi}}=t^{-iy}.t^{-iy}=t^{-2iy}$
In conseguenza
$\lim_{t\rightarrow{\infty}}{(t^{-2iy})}=1$
E poi
$\lim_{t\rightarrow{\infty}}{(t^{-iy})}=\sqrt{1}=1$
Ma
$t^{-iy}=t^{1-(1+iy)}$
Segue che
$\lim_{t\rightarrow{\infty}}{(t)}=\lim_{t\rightarrow{\infty}}{(t^{1+iy})}$
D'al altra parte
$t=t^{-i(i)}=(t^{-i})^i$
Come
$\lim_{t\rightarrow{\infty}}{(t^{-i})}=1$
Deduciamo che
$\lim_{t\rightarrow{\infty}}{(t)}=1^i=1=\lim_{t\rightarrow{\infty}}{(t^{1+iy})}$
Grazie a voi : avete risposto più di qual che volevo e mi avete messo nella soluzione !
Informalmente ti ho già risposto...formalmente credo faresti meglio a seguire la risposta di gugo82...infatti come ha detto gugo82 quella funzione ha infinite determinazioni ed è polidroma in quanto viene fuori un logaritmo complesso (che è appunto la funzione polidroma per eccellenza). In ultimo bada bene che non puoi trattare il calcolo del limite di una funzione di variabile complessa come se si trattasse di una funzione reale di variabile reale...cioè in sostanza devi cercare di separare la parte reale da quella immaginaria (ove possibile) e poi fai le dovute considerazioni...
@ Richie: Fare Matematica non significa manipolare simboli a casaccio.
Fai i conti seriamente.
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