Funzione affine

[dzcosimo]

ecco un mio nuovo intervento ai limiti del banale
difatti la cosa sarà sicuramente molto semplice ma non riesco comunque a capirla
si tratta della dimostrazione che se f:[a,b]->R è convessa allora è equivalente dire
f è strettamente convessa <=> l'intersezione fra il sottodiffernziale in x e in z è vuota per ogni x,z appartenenti a (a,b) con x!=z

la dimostrazione inizia così:
dimostriamo il fatto equivalente che se alfa(elemento generico del sotto differenziale) appartiene all'intersezione allora f è affine all'intervallo [x,z]

ecco qualcuno saprebbe spiegarmi il significato di questa frase?

[gugo82]

Evidentemente l'autore dà per scontato il fatto che le proposizioni:

- $f$ non è strettamente convessa
- $f$ è affine in un intervallo

siano equivalenti.
Ovviamente un'applicazione affine è una funzione del tipo $x\mapsto ax+b$ con $a,b\in RR$.

[dzcosimo]

allora, alla luce di quel che mi hai detto mi sono riguardato la dimostrazione ma non sono convintissimo.
vorrei postarla di modo da poterne discutere tanto è breve:

se f:[a,b]->R è convessa allora è equivalente dire f è strettamente convessa <=> l'intersezione fra il sottodiffernziale in x e in z è vuota per ogni x,z appartenenti a (a,b) con x!=z.

PROOF:
dimostriamo il fatto equivalente che se alfa(elemento generico del sotto differenziale) appartiene all'intersezione allora f è affine all'intervallo [x,z] . dalla definizione di sottodifferenziale si ha:
f(z) +alfa*(x-z)<=f(x)
f(x) +alfa*(z-x)<=f(z)
da cui segue che alfa*(x-z)<=f(x)-f(z) e che alfa*(z-x)<=f(z)-f(x) da cui segue alfa*(x-z)=f(x)-f(z) quindi la retta di equazione f(x)+alfa*(y-x) si trova sotto il grafico di f perchè alfa apartiene al sottodifferenziale di f in x ma anche sopra poichè è una corda
C.v.d.

questa è la breve dimostrazione per intero copiata pari pari dalle dispense
solo che non riesco proprio ad afferrarne il concetto
se tu fossi tanto gentile da darmi qualche delucidazione a proposito te ne sarei infinitamente grato

[gugo82]

[mod="Gugo82"]Ti prego di usare l'apposito linguaggio per inserire le formule (cliccando su quest'ultima parola ti si apre la pagina con tutte le istruzioni per impararlo), in quanto dopo 30 post sei obbligato da regolamento (clicca e cfr. 3.6b).[/mod]

L'idea della dimostrazione è semplice: per mpstrare che una funzione è affine in $[x,z]$ (ossia che il suo grafico, limitatamente all'intervallo $[x,z]$, è un segmento), basta far vedere che essa coincide con la retta secante il grafico di $f$ nei punti $(x,f(x)),\ (z,f(z))$.*

Ora, scelto di denotare con $\nabla f(xi)$ il sottodifferenziale di $f$ in $xi$, ossia l'insieme $\{alpha \in RR:\ AAy in I,\ alpha(y-xi)+f(xi)<=f(y)\}$, proviamo che:

$\bar(alpha) \in \nabla f(x) \cap \nabla f(z) => \bar(alpha) =(f(z)-f(x))/(z-x)$.

Prendendo $y=x, xi=z$ e $y=z,xi=x$ nella proprietà caratteristica di $\nabla f(xi)$, troviamo:

$\{(\bar(alpha)(x-z)+f(z)<=f(x)),(\bar(alpha)(z-x)+f(x)<=f(z)):}$

da cui con pochi passaggi segue:

$(f(z)-f(x))/(z-x)<=\bar(alpha)<=(f(z)-f(x))/(z-x) => \bar(alpha) =(f(z)-f(x))/(z-x)$.

Abbiamo scoperto che se $\bar(alpha)$ appartiene contemporaneamente a due sottodifferenziali di $f$, allora $\bar(alpha)$ è il coefficiente angolare della retta secante il grafico di $f$ nei punti $(x,f(x)),\ (z,f(z))$.
D'altra parte, per $y \in [x,z]$ si ha:

$f(y)<=\bar(alpha)(y-x)+f(x)\quad$ (vista la convessità di $f$, la secante sta sempre sopra al grafico di $f$ in $[x,z]$)

$\bar(alpha)(y-x)+f(x)<=f(y) \quad$ (perchè $\bar(alpha) \in \nablaf(x)$)

e confrontando tali disuguaglianze si vede subito che $f(y)=\bar(alpha)(y-x)+f(x)$ per $y \in [x,z]$, di modo che il grafico di $f$ coincide con un segmento in $[x,z]$ ed $f$ non può essere strettamente convessa.

Che te ne pare?

__________
* Qui e nel seguito suppongo $x

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[dzcosimo]

ok perfetto grazie mille!