Funzione a tratti. Continuità, derivabilità. Dubbio
Ciao a tutti, ho svolto questo esercizio. Controllatemi che l'abbia svolto correttamente. E ditemi se in un passaggio come sarà spiegato di seguito è lecito fare la mia operazione. Ditemi se che vi sembra corretto oppure se c'è qualcosa che non va. Grazie in anticipo.
Al variare dei parametri $a,b\in\mathbb{R}$ sia $f(x)={(ax+b, x\leq 1),((\cos(3\ln(x))-1)/(root(5)(x)-1), x>1):}$
1. la funzione è continua su $\mathbb{R}$ se e solo se?
2. la funzione è derivabile su $\mathbb{R}$ se e solo se?
ho provato a svolgere così l'esercizio.
PRIMA RISPONDO ALLA DOMANDA 1
$\lim_{x\to 1^-} ax+b= a+b =f(1)$
[size=150]$\lim_{x\to 1^+}(\cos(3\ln x)-1)/(root(5)(x)-1)=$[/size]
(in questo passaggio ho sviluppato il coseno, siccome l'argomento del coseno tende a 0, poi ho fatto una traslazione, così potevo sfruttare lo sviluppo notevole al denominatore)
$=\lim_{x\to 1^+} ((-9 \ln^2 x)/2+o(\ln^2 x))/(root(5)(x)-1)=$ $ ( ( t=x-1 \to0 ),( x=t+1 ) ) =\lim_{t \to 0} (-9/2 \ln^2(t+1)+o(\ln^2(t+1)))/((t+1)^{1/5}-1)$
ora il numeratore è per $t\to 0$.. $-9/2 (t^2+o(t^2))+o(t^2) \sim -9/2 t^2$
il denominatore per $t\to 0$ è $(1+t)^{1/5}-1=1+1/5 t+o(t)-1 \sim 1/5 t$
in pratica il limite è asintotico a per $t\to 0$ .. $(-9/2 t^2)/(1/5 t) \to 0$
quindi la risposta alla prima domande è che $a+b=0$
RISPONDO ALLA DOMANDA 2
io utilizzo sempre la definizione come ha detto il mio esercitatore.
$\lim_{x\to 1^-} (f(x)-f(1))/(x-1)=\lim_{x\to 1^-} (ax+b-a-b)/(x-1)=\lim_{x\to 1^-} (ax-a)/(x)=\lim_{x\to 1^-}(a(x-1))/(x-1)= a$
per il secondo limite cioè questo
$\lim_{x\to 1^+} (f(x)-f(1))/(x-1)=\lim_{x\to 1^+}((\cos(3\ln x)-1)/(root(5)(x)-1)-(a+b))/(x-1)$
ho fatto in questo (NON so se sia corretto, farlo, ditemi il vostro parere). Ho spezzato la frazione in questo modo
$((\cos(3\ln x)-1)/(root(5)(x)-1))/(x-1)-(a+b)/(x-1)$
passando al limite questo $(a+b)/(x-1)$ è 0 perchè da continuità $a+b=0$,
per cui mi resta da risolvere $\lim_{x\to 1^+}((\cos(3\ln x)-1)/(root(5)(x)-1))/(x-1)$
il limite è simile a quello che avevo fatto per la continuità, quindi facendo la mia traslazione in 0,
cioè $h=x-1\to 0$. quindi $x=h+1$.. concludo che il limite vale $-45/2$
quindi rispondo alla seconda domanda dicendo che per essere derivabile deve essere $a=-45/2$
Al variare dei parametri $a,b\in\mathbb{R}$ sia $f(x)={(ax+b, x\leq 1),((\cos(3\ln(x))-1)/(root(5)(x)-1), x>1):}$
1. la funzione è continua su $\mathbb{R}$ se e solo se?
2. la funzione è derivabile su $\mathbb{R}$ se e solo se?
ho provato a svolgere così l'esercizio.
PRIMA RISPONDO ALLA DOMANDA 1
$\lim_{x\to 1^-} ax+b= a+b =f(1)$
[size=150]$\lim_{x\to 1^+}(\cos(3\ln x)-1)/(root(5)(x)-1)=$[/size]
(in questo passaggio ho sviluppato il coseno, siccome l'argomento del coseno tende a 0, poi ho fatto una traslazione, così potevo sfruttare lo sviluppo notevole al denominatore)
$=\lim_{x\to 1^+} ((-9 \ln^2 x)/2+o(\ln^2 x))/(root(5)(x)-1)=$ $ ( ( t=x-1 \to0 ),( x=t+1 ) ) =\lim_{t \to 0} (-9/2 \ln^2(t+1)+o(\ln^2(t+1)))/((t+1)^{1/5}-1)$
ora il numeratore è per $t\to 0$.. $-9/2 (t^2+o(t^2))+o(t^2) \sim -9/2 t^2$
il denominatore per $t\to 0$ è $(1+t)^{1/5}-1=1+1/5 t+o(t)-1 \sim 1/5 t$
in pratica il limite è asintotico a per $t\to 0$ .. $(-9/2 t^2)/(1/5 t) \to 0$
quindi la risposta alla prima domande è che $a+b=0$
RISPONDO ALLA DOMANDA 2
io utilizzo sempre la definizione come ha detto il mio esercitatore.
$\lim_{x\to 1^-} (f(x)-f(1))/(x-1)=\lim_{x\to 1^-} (ax+b-a-b)/(x-1)=\lim_{x\to 1^-} (ax-a)/(x)=\lim_{x\to 1^-}(a(x-1))/(x-1)= a$
per il secondo limite cioè questo
$\lim_{x\to 1^+} (f(x)-f(1))/(x-1)=\lim_{x\to 1^+}((\cos(3\ln x)-1)/(root(5)(x)-1)-(a+b))/(x-1)$
ho fatto in questo (NON so se sia corretto, farlo, ditemi il vostro parere). Ho spezzato la frazione in questo modo
$((\cos(3\ln x)-1)/(root(5)(x)-1))/(x-1)-(a+b)/(x-1)$
passando al limite questo $(a+b)/(x-1)$ è 0 perchè da continuità $a+b=0$,
per cui mi resta da risolvere $\lim_{x\to 1^+}((\cos(3\ln x)-1)/(root(5)(x)-1))/(x-1)$
il limite è simile a quello che avevo fatto per la continuità, quindi facendo la mia traslazione in 0,
cioè $h=x-1\to 0$. quindi $x=h+1$.. concludo che il limite vale $-45/2$
quindi rispondo alla seconda domanda dicendo che per essere derivabile deve essere $a=-45/2$
Risposte
Riguardo la risposta 1):
non ho controllato punto per punto il tuo svolgimento ma comunque anche a me viene che $f(x)$ è continua se $a=-b$.
Però ti sei complicato la vita: in questo caso con Hopital era più facile e rapido.
$lim_{x\to 1^+}(\cos(3\ln x)-1)/(root(5)(x)-1)=0/0 =text(Hopital) => -3/x sin(3ln(x)) cdot 5 root(5)(x^4)=0$
Riguardo la risposta 2):
non conosco il metodo del tuo esercitatore né quindi la sua validità (comunque, a scanso di errori, arrivo a un risultato ben diverso: sei sicuro che l'esercitatore ti abbia detto di fare così?). Ti mostro come avrei fatto io.
La funzione per $x ne 1$ è derivabile, quindi mi devo preoccupare solo per $x=1$.
Tenendo conto che $f(x)$ è continua in tutto $RR$ solo per $a=-b$, da cui $f(1)=a+b=0$, allora controllo con il limite del rapporto incrementale:
*Caso $x<=1$
$lim_(h->0)(f(1+h)-f(1))/(h)=(a(1+h)-0)/h=(a(1+h))/h$
Ora:
*se $a=0 (=>b=0)$, allora $lim_(h->0) (a(h+1))/h=0$;
*se $a ne 0 (=>b=-a)$, allora $lim_(h->0) (a(h+1))/h=oo$
Quindi la funzione potrebbe essere derivabile solo per $a=b=0$. Controlliamo allora il
*Caso $x>1$
$lim_(h->0)(f(1+h)-f(1))/(h)=(cos(3ln(1+h))-1)/(h(root(5)(1+h)-1))=0/0=text(Hopital)=((-3)/(h+1)sin(3ln(h+1)))/(6/5 root(5)(h)+1)=0$
La funzione è quindi derivabile in tutto $RR$ per $a=b=0$.
non ho controllato punto per punto il tuo svolgimento ma comunque anche a me viene che $f(x)$ è continua se $a=-b$.
Però ti sei complicato la vita: in questo caso con Hopital era più facile e rapido.
$lim_{x\to 1^+}(\cos(3\ln x)-1)/(root(5)(x)-1)=0/0 =text(Hopital) => -3/x sin(3ln(x)) cdot 5 root(5)(x^4)=0$
Riguardo la risposta 2):
non conosco il metodo del tuo esercitatore né quindi la sua validità (comunque, a scanso di errori, arrivo a un risultato ben diverso: sei sicuro che l'esercitatore ti abbia detto di fare così?). Ti mostro come avrei fatto io.
La funzione per $x ne 1$ è derivabile, quindi mi devo preoccupare solo per $x=1$.
Tenendo conto che $f(x)$ è continua in tutto $RR$ solo per $a=-b$, da cui $f(1)=a+b=0$, allora controllo con il limite del rapporto incrementale:
*Caso $x<=1$
$lim_(h->0)(f(1+h)-f(1))/(h)=(a(1+h)-0)/h=(a(1+h))/h$
Ora:
*se $a=0 (=>b=0)$, allora $lim_(h->0) (a(h+1))/h=0$;
*se $a ne 0 (=>b=-a)$, allora $lim_(h->0) (a(h+1))/h=oo$
Quindi la funzione potrebbe essere derivabile solo per $a=b=0$. Controlliamo allora il
*Caso $x>1$
$lim_(h->0)(f(1+h)-f(1))/(h)=(cos(3ln(1+h))-1)/(h(root(5)(1+h)-1))=0/0=text(Hopital)=((-3)/(h+1)sin(3ln(h+1)))/(6/5 root(5)(h)+1)=0$
La funzione è quindi derivabile in tutto $RR$ per $a=b=0$.
Il mio esercitatore ha detto che bisogna utilizzare la definzione, ma le 2 formule sono equivalenti, cioè
questa formula $\lim_{h\to 0} (f(x_0+h)-f(x_0))/(h)$
è equivalente a questa $\lim_{x\to x_0} (f(x)-f(x_0))/(x-x_0)$
io per comodità ho utilizzato la seconda formula che ho scritto.
Allora riguardo alla continuità siamo entrambi d'accordo che viene $a+b=0$
PER LA RISPOSTA 2,, ti ripeto che io ho utilizzato la seconda formula, come usa il nostro esercitatore, tanto le 2 formule sono equivalenti!
ti ho già risposto
poi per il limite $x\to 1^-$, cioè tendente da sinistra ci troviamo d'accordo!
sul fatto del limite $x\to 1^+$, non riesco a capire come ti faccia venire, con Hopital, ti viene 0
io ho usato la seconda formula, cioè $\lim_{x\to x_0} (f(x)-f(x_0))/(x-x_0)$
e mi viene quello che scritto parto dal limite a cui a NUMERATORE ho $(\cos(3\ln x)-1)/(root(5)(x)-1)-(a+b)$
e a denominatore, cioè tutto fratto $x-1$
in pratica ho $\lim_{x\to 1^+} ((\cos(3\ln x)-1)/(root(5)(x)-1)-(a+b))/(x-1)$
dove poi ho spiegato quello che ho fatto, e facendo quello che ho fatto anche con la traslazione in 0,
il limite mi viene $-45/2$
con quello che ho fatto, ho controllato il risultato pure da Wolframalpha
certo poi bisogna mettere a sistema
${(a+b=0),(a=-45/2):}\to {(a=-45/2), (b=45/2):}$
Alcune volte hopital può ingannare ci ha detto il mio esercitatore!
questa formula $\lim_{h\to 0} (f(x_0+h)-f(x_0))/(h)$
è equivalente a questa $\lim_{x\to x_0} (f(x)-f(x_0))/(x-x_0)$
io per comodità ho utilizzato la seconda formula che ho scritto.
Allora riguardo alla continuità siamo entrambi d'accordo che viene $a+b=0$
PER LA RISPOSTA 2,, ti ripeto che io ho utilizzato la seconda formula, come usa il nostro esercitatore, tanto le 2 formule sono equivalenti!
"Brancaleone":
Riguardo la risposta 2):
non conosco il metodo del tuo esercitatore né quindi la sua validità (comunque, a scanso di errori, arrivo a un risultato ben diverso: sei sicuro che l'esercitatore ti abbia detto di fare così?). Ti mostro come avrei fatto io.
ti ho già risposto
poi per il limite $x\to 1^-$, cioè tendente da sinistra ci troviamo d'accordo!
sul fatto del limite $x\to 1^+$, non riesco a capire come ti faccia venire, con Hopital, ti viene 0
"Brancaleone":
Riguardo la risposta 2):
$lim_(h->0)(f(1+h)-f(1))/(h)=(cos(3ln(1+h))-1)/(h(root(5)(1+h)-1))=0/0=text(Hopital)=((-3)/(h+1)sin(3ln(h+1)))/(6/5 root(5)(h)+1)=0$
La funzione è quindi derivabile in tutto $RR$ per $a=b=0$.
io ho usato la seconda formula, cioè $\lim_{x\to x_0} (f(x)-f(x_0))/(x-x_0)$
e mi viene quello che scritto parto dal limite a cui a NUMERATORE ho $(\cos(3\ln x)-1)/(root(5)(x)-1)-(a+b)$
e a denominatore, cioè tutto fratto $x-1$
in pratica ho $\lim_{x\to 1^+} ((\cos(3\ln x)-1)/(root(5)(x)-1)-(a+b))/(x-1)$
dove poi ho spiegato quello che ho fatto, e facendo quello che ho fatto anche con la traslazione in 0,
il limite mi viene $-45/2$
con quello che ho fatto, ho controllato il risultato pure da Wolframalpha
certo poi bisogna mettere a sistema
${(a+b=0),(a=-45/2):}\to {(a=-45/2), (b=45/2):}$
Alcune volte hopital può ingannare ci ha detto il mio esercitatore!
Ahia in Hopital ho sbagliato a calcolare la derivata al denominatore, merito di essere flagellato senza pietà 
Sì hai ragione, ricontrollando mi viene $-45/2$, perché
$lim_(h->0)(f(1+h)-f(1))/(h)=(cos(3ln(1+h))-1)/(h(root(5)(1+h)-1))=0/0=text(Hopital)=((-3sin(3ln(h+1)))/(h+1))/((-5 root(5)((h+1)^4)-6h-5)/(5 root(5)((h+1)^4)))=0/0=$
$=text(Hopital)=...=(-9)/(2/5)=-45/2$
Sì hai ragione, ricontrollando mi viene $-45/2$, perché
$lim_(h->0)(f(1+h)-f(1))/(h)=(cos(3ln(1+h))-1)/(h(root(5)(1+h)-1))=0/0=text(Hopital)=((-3sin(3ln(h+1)))/(h+1))/((-5 root(5)((h+1)^4)-6h-5)/(5 root(5)((h+1)^4)))=0/0=$
$=text(Hopital)=...=(-9)/(2/5)=-45/2$
Però mi rimane sempre un dubbio, dimmi o ditemi chi vedrà se ho fatto correttamente i passaggi. È per essere sicuro.
riporto qui il mio dubbio..
$\lim_{x\to 1^+} ((\cos(3\ln x)-1)/(root(5)(x)-1)-(a+b))/(x-1)$
ecco poi ho fatto
$=\lim_{x\to 1^+} ((\cos(3\ln x)-1)/(root(5)(x)-1))/(x-1)- (a+b)/(x-1)$
dove $(a+b)/(x-1)$ viene 0, perchè dalla continuità $a+b=0$
e così mi resta da calcolare questo limite $\lim_{x\to 1^+} ((\cos(3\ln x)-1)/(root(5)(x)-1))/(x-1)$
cioè va bene il mio procedimento che ho spezzato la frazione ecc..?
riporto qui il mio dubbio..
$\lim_{x\to 1^+} ((\cos(3\ln x)-1)/(root(5)(x)-1)-(a+b))/(x-1)$
ecco poi ho fatto
$=\lim_{x\to 1^+} ((\cos(3\ln x)-1)/(root(5)(x)-1))/(x-1)- (a+b)/(x-1)$
dove $(a+b)/(x-1)$ viene 0, perchè dalla continuità $a+b=0$
e così mi resta da calcolare questo limite $\lim_{x\to 1^+} ((\cos(3\ln x)-1)/(root(5)(x)-1))/(x-1)$
cioè va bene il mio procedimento che ho spezzato la frazione ecc..?
La frazione è "spezzata" correttamente... Il problema è che non hai spezzato anche il limite. Se spezzi il limite ti viene $0/0$. Poi ti conviene usare Hopital.
"fede.unive":
La frazione è "spezzata" correttamente... Il problema è che non hai spezzato anche il limite. Se spezzi il limite ti viene $0/0$. Poi ti conviene usare Hopital.
quello che ho fatto con questo limite $\lim_{x\to 1} ((\cos(3\ln x)-1)/(root(5)(x)-1))/(x-1)$
l'ho spiegato sopra al primo messaggio!
e questo $(a+b)/(x-1)$, viene zero perchè dalla continuità avevo trovato $a+b=0$, quindi è zero!.. se guardi i messaggi sopra è spiegato tutto.
Grazie comunque!
Sì è vero, ma allora bastava dire, per essere la funzione derivabile, questa deve essere anche continua. La condizione per la continuità è data se $a+b=0$. Pertanto:
$\lim_{x\to 1^+} ((\cos(3\ln x)-1)/(root(5)(x)-1)-(a+b))/(x-1)=lim_{x\to 1^+} ((\cos(3\ln x)-1)/(root(5)(x)-1)-0)/(x-1)=lim_{x\to 1^+} ((\cos(3\ln x)-1)/(root(5)(x)-1))/(x-1) $
$\lim_{x\to 1^+} ((\cos(3\ln x)-1)/(root(5)(x)-1)-(a+b))/(x-1)=lim_{x\to 1^+} ((\cos(3\ln x)-1)/(root(5)(x)-1)-0)/(x-1)=lim_{x\to 1^+} ((\cos(3\ln x)-1)/(root(5)(x)-1))/(x-1) $
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