Funzione a tratti continuità derivabilità

[zerbo1000]

allora ragazzi
ciao a tutti, dubbio:

data:

$ f(x)={ ( x^alpha sin(1/x) sex>0 ),( 0 sex<=0 ):}$

verfificare che per $ alpha =2 $la funzione $f$ è derivabile ma la derivata di $f$ non è continua in$ x=0 $


la funzione è continua quindi la sua derivata, con $alpha=2$ è

$ f(x)={ ( 2x sin(1/x)+cos(1/x) sex>0 ),( 0 sex<=0 ):}$

faccia limite destro e sinitro di $f$, se sono uguali $f$ è derivabile, se non uguali e il limite vale come la funzione nel punto allora è anche continua(giusto?).

$Lim _(x->0^-) 2x sin(1/x)+cos(1/x) =(NON ESISTE)$
$Lim _(x->0^+) 0 =0$ (dato che $f$ è cosi definita questi sono i suoi limiti)

dato che non esiste non posso dire niente allora faccio il limite del rapporto incrementale
$Lim _(x->0^-) ( 2x sin(1/x)+cos(1/x) - cos(1/0) )/(x-0) =Lim _(x->0^-) 2sin(1/x)=(NON ESISTE)$

e visto che non esiste non è neanche derivabile.
quindi non capisco dove sbaglio?
Help pleasee

[orsoulx]

La derivata di $ sin(1/x) $ non è completa.
Ciao
B.

[zerbo1000]

ho corretto, però lo stesso non viene orsoulx

[orsoulx]

C'è ancora un errore di segno nella derivata, ma non ha conseguenze sul risultato.
Hai dimostrato che in un qualsiasi intorno sinistro dello 0 la derivata è nulla. Per x positivo, invece la derivata non ammette alcun limite quando x tende a zero. Basta trarne le conseguenze!
Ciao
B.
PS Non è carino scrivere messaggi e poi cancellarli. Non c'è nulla di male a sbagliare, l'importante è capire gli errori.