Funzione a tratti con parametri. Derivabilità. Dove sbaglio?
Ciao a tutti ho un problema con questo esercizio non riesco a capire dove sbaglio. Faccio così man mano che svolgo l'esercizio spiego quello che faccio quando arrivo al punto che mi blocco. Lo dico. Aiutatemi per favore. Grazie in anticipo
Stabilire per quali valori dei parametri $a,b\in\mathbb{R}$ la funzione $f(x)={(ax^2+bx, x\geq 1),(a\cdot \arctan(x)+2b, x>1):}$
è continua e derivabile in $x=1$
l'esercizio ho provato a svolgerlo così
prima ho studiato la continuità $lim_{x\to 1^-}ax^2+bx= a+b$ e $\lim_{x\to 1^+} a\cdot\arctan(x)+2b=a\pi/4+2b$
per cui la funzione è continua per questi valori $a+b=a\pi/4+2b\to (1-\pi/4)a-b=0$
$f(1)=a+b$
ora ho problemi con la DERIVABILITA', il mio esercitatore ha detto che è preferibile usare la definizione di derivata, cioè facendo il limite del rapporto incrementale, ma il problema è che facendolo così non mi viene.
(1) $\lim_{x\to 1^-}(f(x)-f(1))/(x-1)=\lim_{x\to 1^-}(ax^2+bx-(a+b))/(x-1)$
(2) $\lim_{x\to 1^+}(f(x)-f(1))/(x-1)=\lim_{x\to 1^+}(a\cdot \arctan(x)+2b)/(x-1)=\lim_{x\to 1^+}(a\pi/4+2b-(a+b))/(x-1)$
il limite (1), mi viene 0, mentre il limite (2), non saprei come andare avanti.
Aiutatemi per favore.
Stabilire per quali valori dei parametri $a,b\in\mathbb{R}$ la funzione $f(x)={(ax^2+bx, x\geq 1),(a\cdot \arctan(x)+2b, x>1):}$
è continua e derivabile in $x=1$
l'esercizio ho provato a svolgerlo così
prima ho studiato la continuità $lim_{x\to 1^-}ax^2+bx= a+b$ e $\lim_{x\to 1^+} a\cdot\arctan(x)+2b=a\pi/4+2b$
per cui la funzione è continua per questi valori $a+b=a\pi/4+2b\to (1-\pi/4)a-b=0$
$f(1)=a+b$
ora ho problemi con la DERIVABILITA', il mio esercitatore ha detto che è preferibile usare la definizione di derivata, cioè facendo il limite del rapporto incrementale, ma il problema è che facendolo così non mi viene.
(1) $\lim_{x\to 1^-}(f(x)-f(1))/(x-1)=\lim_{x\to 1^-}(ax^2+bx-(a+b))/(x-1)$
(2) $\lim_{x\to 1^+}(f(x)-f(1))/(x-1)=\lim_{x\to 1^+}(a\cdot \arctan(x)+2b)/(x-1)=\lim_{x\to 1^+}(a\pi/4+2b-(a+b))/(x-1)$
il limite (1), mi viene 0, mentre il limite (2), non saprei come andare avanti.
Aiutatemi per favore.
Risposte
il primo limite non viene $0$ ma $2a+b$.
Nel secondo limite io sostituirei $b$ con $a-pi/4 a$ che si ricava dalla condizione di continuità.
A questo punto troverei come limite
$lim_{x\rightarrow 1^+}{a arctan x-pi/4 a}/{x-1}=lim_{x\rightarrow 1^+}{a (arctan x-pi/4) }/{x-1}$ qui puoi scegliere due strade:
1) sviluppi $arctan x$ attorno a $1$ ottenendo $arctan x=pi/4+{x-1}/2+o((x-1)^2)$ da cui
$lim_{x\rightarrow 1^+}{a (arctan x-pi/4) }/{x-1}=lim_{x\rightarrow 1^+}{a (pi/4+{x-1}/2+o((x-1)^2)-pi/4) }/{x-1}=lim_{x\rightarrow 1^+}{a ({x-1}/2+o((x-1)^2)) }/{x-1}=a/2$
oppure
2) $lim_{x\rightarrow 1^+}{a (arctan x-pi/4) }/{x-1}=lim_{x\rightarrow 1^+}{a (arctan x-arctan 1) }/{x-1}=lim_{x\rightarrow 1^+}{a arctan({x-1}/{x+1}) }/{x-1}=lim_{x\rightarrow 1^+}{a arctan({x-1}/{x+1}) }/{(x+1){x-1}/{x+1}}=$
$= a/2$
Nel secondo limite io sostituirei $b$ con $a-pi/4 a$ che si ricava dalla condizione di continuità.
A questo punto troverei come limite
$lim_{x\rightarrow 1^+}{a arctan x-pi/4 a}/{x-1}=lim_{x\rightarrow 1^+}{a (arctan x-pi/4) }/{x-1}$ qui puoi scegliere due strade:
1) sviluppi $arctan x$ attorno a $1$ ottenendo $arctan x=pi/4+{x-1}/2+o((x-1)^2)$ da cui
$lim_{x\rightarrow 1^+}{a (arctan x-pi/4) }/{x-1}=lim_{x\rightarrow 1^+}{a (pi/4+{x-1}/2+o((x-1)^2)-pi/4) }/{x-1}=lim_{x\rightarrow 1^+}{a ({x-1}/2+o((x-1)^2)) }/{x-1}=a/2$
oppure
2) $lim_{x\rightarrow 1^+}{a (arctan x-pi/4) }/{x-1}=lim_{x\rightarrow 1^+}{a (arctan x-arctan 1) }/{x-1}=lim_{x\rightarrow 1^+}{a arctan({x-1}/{x+1}) }/{x-1}=lim_{x\rightarrow 1^+}{a arctan({x-1}/{x+1}) }/{(x+1){x-1}/{x+1}}=$
$= a/2$
"laura123":
il primo limite non viene $0$ ma $2a+b$.
mi spieghi come hai fatto a far venire fuori $2a+b$ ? a me non mi riesce!
grz per il secondo limite!
semplice $lim_{x\rightarrow 1^-}{ax^2+bx-a-b}/{x-1}=lim_{x\rightarrow 1^-}{a(x^2-1)+b(x-1)}/{x-1}=lim_{x\rightarrow 1^-}{a(x-1)(x+1)+b(x-1)}/{x-1}=$
$=lim_{x\rightarrow 1^-}{(x-1)[a(x+1)+b]}/{x-1}=2a+b$
$=lim_{x\rightarrow 1^-}{(x-1)[a(x+1)+b]}/{x-1}=2a+b$
"laura123":
semplice $lim_{x\rightarrow 1^-}{ax^2+bx-a-b}/{x-1}=lim_{x\rightarrow 1^-}{a(x^2-1)+b(x-1)}/{x-1}=lim_{x\rightarrow 1^-}{a(x-1)(x+1)+b(x-1)}/{x-1}=$
$=lim_{x\rightarrow 1^-}{(x-1)[a(x+1)+b]}/{x-1}=2a+b$
grazie 1000
madò come ho fatto a non vederlo subito?..uff..va bé grazie ancora!
vorrei un chiarimento riguardo ad una cosa.
Intanto ringrazio ancora laura123 per la risposta e per avermi fatto capire.
Io stamane ho fatto un altro esercizio simile, e mi è venuto. Però non sono sicuro se quello che ho fatto è lecito, pongo il mio dubbio in generale
quando vado a calcolare la derivata nel punto con la definizione come mi ha detto il mio esercitatore, cioè con la formula
\[\displaystyle \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \]
se sono partito da questa formula per calcolarne il limite posso tranquillamente ricondurmi per traslazione alla seconda formula? cioè questa $\lim_{h\to 0}(f(x_0+h)-f(x_0))/(h)$
so dalla teoria che le 2 formule sono equivalenti, ma se sono partito a calcolare il limite con la prima formula, posso passare tranquillamente alla seconda formula per traslazione per calcolare il limite?
Certo è sciocca come domanda, ma è meglio che chiedo, siccome il mio prof è pignolo!
Intanto ringrazio ancora laura123 per la risposta e per avermi fatto capire.
Io stamane ho fatto un altro esercizio simile, e mi è venuto. Però non sono sicuro se quello che ho fatto è lecito, pongo il mio dubbio in generale
quando vado a calcolare la derivata nel punto con la definizione come mi ha detto il mio esercitatore, cioè con la formula
\[\displaystyle \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \]
se sono partito da questa formula per calcolarne il limite posso tranquillamente ricondurmi per traslazione alla seconda formula? cioè questa $\lim_{h\to 0}(f(x_0+h)-f(x_0))/(h)$
so dalla teoria che le 2 formule sono equivalenti, ma se sono partito a calcolare il limite con la prima formula, posso passare tranquillamente alla seconda formula per traslazione per calcolare il limite?
Certo è sciocca come domanda, ma è meglio che chiedo, siccome il mio prof è pignolo!
La seconda definizione si ottiene effettuando il cambiamento di variabile $h = x - x_0$ .
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