Funzione a tratti a due variabili

[brinchi1]

Mi è capitata funzione a due variabili a tratti che mi ha messo in difficoltà.
finora ho trattato funzioni del tipo: f(xy)= xy/x log(x+y) se (x,y) diverso da (00); f(x,y) = (0,0) se (xY)=(00)
come devo trattare una funzione a tratti cosi definita f(xy) = exp(xy)-1/sqm{x +y} se y>0
arctang(xy) se y minore o uguale a 0
per la continuità in 0 devo fare i limiti per entrambi i tratti?
per le derivate parziali in (0,0) mi hanno detto che se la funzione è nulla sugli assi, esistono e sono nulle. come mai? Vale solo nell'origine? In questo caso la funzione è nulla sugli assi in entrambi i casi, ma se non lo fosse in uno o in entrambi? per dimostrare esistenza derv parziali devo fare limite del rapporto.. che tratto considero?
lo stesso per il limite richiesto per la differenziabilità.. che tratto considero?
Ha senso parlare di limite destro e sinistro per funzioni a due variabili?
Grazie a chi riesce a risolvermi tutti questi dubbi(:

[Brancaleone1]

...la funzione è questa?

$f(x,y) ={ ( (exp(xy)-1)/(sqrt(x +y)) qquad text{if} quad y>0),( arctan(xy) qquad text(if) quad y<=0):}$

[brinchi1]

si è questa, ma con con exp(xy)−1/ √ (x^2+y^2)
( x + y sotto radice entrambe elevate al quadrato

[donald_zeka]

$f(x,0)=0$ per qualsiasi $x$

Inoltre $(e^(xy)-1)/(sqrt(x^2+y^2)$, tende a $0$ per $(x,y)->(x_0,0)$ con $x_0!=0$, quindi per dimostrare che f è continua non resta che dimostrare che $(e^(xy)-1)/(sqrt(x^2+y^2)$ tende a 0 per $(x,y)->(0,0)$