Funzione a due variabili e luoghi di punti critici

[tuttomax]

salve devo studiare questa funzione $ f(x,y) = (x^2+y^2-4)(x-y) $
facendo il gradiente trovo:
\( \bigtriangledown (x,y)=\begin{cases} (2x(x-y)+(x^2+y^2-4) \\ 2y(x-y)-(x^2+y^2-4) \end{cases} \)
che posto uguale a (0,0) mi da $ (x-y)(2x+2y) = 0 $, ovvero due luoghi di punti critici
1.$ y=x $
2.$ y=-x $
fin qui è corretto?
non potendo usare l'hessiano studio il segno: $ f(x,y)\geq f|_{\{y=x\}} $ e trovo i vari punti di min,max e sella "studiando" il grafico di quella dissequazione

ma per $ f(x,y)\geq f|_{\{y=x\}} $ la funzione ristretta non è uguale a zero qundi non so proprio cosa fare

[Bremen000]

In realtà se sommi le due equazioni ottieni $(x-y)(2x+2y)$ che ha come soluzione $y=\pm x$ e andando a sostituire per esempio nella prima trovi:

$y=x \Rightarrow 2x^2-4=0 \Rightarrow x= \pm sqrt(2)$ e dunque i punti $P_1 = (sqrt(2), sqrt(2)) \quad P_2 = (-sqrt(2), -sqrt(2)) $

$y=-x \Rightarrow 6x^2-4=0 \Rightarrow x= \pm sqrt(\frac{2}{3})$ e dunque i punti $P_3 = (sqrt(\frac{2}{3}), -sqrt(\frac{2}{3})) \quad P_4 = (-sqrt(\frac{2}{3}), sqrt(\frac{2}{3})) $

Poi puoi sbizzarrirti con l'hessiana!

[tuttomax]

cavolo spero di non fare questi errori stupidi all'esame...
comunque se per caso ho solo luoghi di punti critici e si presenta la situazione che ho descritto all'inizio come devo comportarmi
cioè se sostituendo y=-x nell'equazione di parteza non ottengo 0 vuold ire che ho sbagliato qualcosa ?(in questo caso non c'erano luoghi di punti critici)

[Bremen000]

In quel caso bisogna sporcarsi le mani e andare a vedere come si comporta la funzione ristretta, cioè nel caso $y=-x$ metti nell'equazione della funzione $-x$ al posto di $y$ e guardi cosa succede! Ci son un sacco di esercizi svolti nelle discussioni di analisi...TeM da delle spiegazioni meravigliose di solito, prova a guardare tra i suoi messaggi!