Funzione a due variabili_dominio, codominio...
salve a tutti, ho dei problemi su questo esercizio.
$sqrt(|x-y|/x)$
mi viene chiesto:
1) il dominio
2) 3 punti della linea di livello 1
3) dimostrare che non è biunivoca
4) codominio
1)per il dominio ho messo a sistema
$|x-y|/x >=0$
e x diverso da 0.
la prima frazione è vera per $x>=0$ (infatti il modulo è sempre positivo, e allora ho considerato solo il denominatore)
quindi in pratica sul piano cartesiano il dominio sono il 1 e il 2 quadrante con l'esclusione dell'asse delle ordinate.
2)la linea di livello si ottiene uguagliando la funzione a 1? o no?
le soluzioni dovrebbero essere (1,0) (2,0) (3,0).
3) come faccio a dirlo?
4) il risultato è [o;$+ infty$[. perchè?
grazie mille in anticipo
$sqrt(|x-y|/x)$
mi viene chiesto:
1) il dominio
2) 3 punti della linea di livello 1
3) dimostrare che non è biunivoca
4) codominio
1)per il dominio ho messo a sistema
$|x-y|/x >=0$
e x diverso da 0.
la prima frazione è vera per $x>=0$ (infatti il modulo è sempre positivo, e allora ho considerato solo il denominatore)
quindi in pratica sul piano cartesiano il dominio sono il 1 e il 2 quadrante con l'esclusione dell'asse delle ordinate.
2)la linea di livello si ottiene uguagliando la funzione a 1? o no?
le soluzioni dovrebbero essere (1,0) (2,0) (3,0).
3) come faccio a dirlo?
4) il risultato è [o;$+ infty$[. perchè?
grazie mille in anticipo
Risposte
"sweet swallow":Si
2)la linea di livello si ottiene uguagliando la funzione a 1? o no?
"sweet swallow":
le soluzioni dovrebbero essere (1,0) (2,0) (3,0).
E' facile controllare: quanto vale la funzione in quei punti? Se vale 1 è giusto.
si la funzione in quei punti vale 1.
io però per trovarli avevo ragionato facendo |x-y|=x(uguagliando la funzione a 1 e poi elevando al quadrato) e quindi x-y=x da cui y=0. ma poi x-y=-x da cui x=y/2. la prima soluzione va bene perchè basta prendere un punto che ha y=0 e la funzione vale 1, ma l'altra soluzione?
io però per trovarli avevo ragionato facendo |x-y|=x(uguagliando la funzione a 1 e poi elevando al quadrato) e quindi x-y=x da cui y=0. ma poi x-y=-x da cui x=y/2. la prima soluzione va bene perchè basta prendere un punto che ha y=0 e la funzione vale 1, ma l'altra soluzione?
"sweet swallow":
(uguagliando la funzione a 1 e poi elevando al quadrato)
E' giusto, però devi tenere presente qual'è il dominio della tua funzione. Nello specifico, la tua linea di livello sarà data dall'intersezione tra le soluzioni dell'equazione $|x-y|=x$ e il dominio della $f$. Non ho fatto conti, se ti servono informazioni più specifiche dimmelo.
"sweet swallow":
si la funzione in quei punti vale 1.
io però per trovarli avevo ragionato facendo |x-y|=x(uguagliando la funzione a 1 e poi elevando al quadrato) e quindi x-y=x da cui y=0. ma poi x-y=-x da cui x=y/2. la prima soluzione va bene perchè basta prendere un punto che ha y=0 e la funzione vale 1, ma l'altra soluzione?
A parte che se devi solo trovare tre punti sulla linea di livello ti basta la condizione $y=0$ per produrre $(1.0)$, $(2,0)$ e $(3,0)$ (per esempio).
Comunque il tuo calcolo mostra che l'insieme di livello e' costituito dalla semireretta ${y=0,x>0}$ e dalla semiretta ${y=2x,x>0}$ - le condizioni $x>0$
provengono dal dover stare nel dominio (come ha giustamente puntualizzato dissonance).
Se vuoi tre punti sulla seconde semiretta puoi prendere $(1,2)$, $(2,4)$ e $(3,6)$ ...
Il fatto che la linea di livello $1$ contenga piu' di un punto dice immediatamente che la funzione non e' iniettiva.
La funzione ha sempre valori maggiori o eguali a zero, peraltro vale zero sulla diagonale (per esempio in $(1,1)$) e se la studi per esempio sulla retta $x=1$ vedi che va a piu' infinito
per $y\to +\infty$. Dato che e' continua deve assumere tutti i valori maggiori o eguali a zero.
ok, per i primi tre punti tutto chiaro.
ma per il codominio non mi è tutto chiaro. allora è sempre maggiore o uguale a zero perchè è una radice. ma per vedere che va a più infinito io restringo a una retta qualsiasi?cioè la retta x=1 in base a cosa si sceglie?devo pensare a come far venire infinito?
ma per il codominio non mi è tutto chiaro. allora è sempre maggiore o uguale a zero perchè è una radice. ma per vedere che va a più infinito io restringo a una retta qualsiasi?cioè la retta x=1 in base a cosa si sceglie?devo pensare a come far venire infinito?
"sweet swallow":
ok, per i primi tre punti tutto chiaro.
ma per il codominio non mi è tutto chiaro. allora è sempre maggiore o uguale a zero perchè è una radice. ma per vedere che va a più infinito io restringo a una retta qualsiasi?cioè la retta x=1 in base a cosa si sceglie?devo pensare a come far venire infinito?
Non e' che ci sia una ricetta generale ... In questo caso se la esamini su una retta e trovi che l'immagine di quella retta e' $[0,+\infty[$ (sapendo a parte che $f$ e' sempre maggiore o eguale
a zero, l'immagine complessiva non puo' che essere $[0,+\infty[$. Certo che su una retta particolare non vai all'infinito non puoi concludere molto.
Forse giova ricordare che in questo caso (e in tutti i casi in cui il dominio e' connesso ed $f$ e' continua, cosa che avviene praticamente sempre) l'immagine e' un connesso di $RR$,
cioe' un intervallo. Se le cose stammo cosi' trovare l'immagine significa trovare gli estremi sup/inf e vedere se sono max/min.
mmm, ti ho seguito più o meno...solo l'ultima frase non mi è chiarissima. che c'entrano i max/min? per capire se l'intervallo del codominio è aperto o chiuso?
"sweet swallow":
mmm, ti ho seguito più o meno...solo l'ultima frase non mi è chiarissima. che c'entrano i max/min? per capire se l'intervallo del codominio è aperto o chiuso?
se hai che l'mmagine (non il codominio) e' in intervallo, allora i suoi estremi sono l'inf e il sup della funzione - inoltre tali estremi appartengono all'immagine se e solo se esistono
il max e il min della funzione
ok grazie^^
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