Funzione a due variabili: derivate direzionali
Buongiorno a tutti ho un esercizio dove mi viene chiesto di calcolare le derivate direzionali in un punto, l'esercizio è
[tex]f(x,y)=x-y^3[/tex] mi viene chiesto di calcolare le derivate direzionali nel punto [tex]P=(x,y)=(0,0)[/tex]
io mi sono andata a calcolare [tex]\lim_{t\rightarrow 0^+} \frac{f(x+t\alpha,y+t\beta)-f(x,y) }{t}[/tex]
dove [tex]Q=(\alpha ,\beta )[/tex] è un vettore generico di norma unitaria, quindi [tex]\sqrt{\alpha ^2+\beta ^2}=1[/tex]
svolgendo i calcoli ho ottenuto che [tex]\lim_{t\rightarrow 0^+} \alpha +t^2\beta ^3=\alpha[/tex]
volevo chiedere se è corretto il risultato e se è giusto dire che nel punto (0,0) ho derivate direzionali [tex]\forall \alpha ,\beta \in R[/tex].
Grazie in anticipo
[tex]f(x,y)=x-y^3[/tex] mi viene chiesto di calcolare le derivate direzionali nel punto [tex]P=(x,y)=(0,0)[/tex]
io mi sono andata a calcolare [tex]\lim_{t\rightarrow 0^+} \frac{f(x+t\alpha,y+t\beta)-f(x,y) }{t}[/tex]
dove [tex]Q=(\alpha ,\beta )[/tex] è un vettore generico di norma unitaria, quindi [tex]\sqrt{\alpha ^2+\beta ^2}=1[/tex]
svolgendo i calcoli ho ottenuto che [tex]\lim_{t\rightarrow 0^+} \alpha +t^2\beta ^3=\alpha[/tex]
volevo chiedere se è corretto il risultato e se è giusto dire che nel punto (0,0) ho derivate direzionali [tex]\forall \alpha ,\beta \in R[/tex].
Grazie in anticipo
Risposte
"Piccy":
è giusto dire che nel punto (0,0) ho derivate direzionali [tex]\forall \alpha ,\beta \in R[/tex].
Non ho capito la risposta. Intendi che nell'origine qualsiasi vettore $(\alpha,\beta) \in \mathbb{R}^2$ è derivata direzionale di f?
Grazie innanzitutto per l'interessamento. Come risposta intendo dire che il punto (0,0) ammette derivate direzionali per qualsiasi alfa e beta limitati, dato che,correggimi se sbaglio,ho derivate direzionali in un punto quando il lim che sono andata a calcolare é limitato. Grazie ancora 
Si ma l'esercizio chiede di calcolare le derivate nell'origine. Non chiede di dimostrarne l'esistenza.
Quello che volevo dire è che le derivate direzionali esistono per ogni direzione del vettore unitario, in pratica tutte le derivate direzionali di quel punto sono ([tex]\alpha[/tex],[tex]\beta[/tex]) con [tex]\alpha[/tex] e [tex]\beta[/tex] appartenenti ai reali. Ho usato questo metodo perchè non mi veniva data una direzione ma dovevo trovarle tutte, non so però se è giusto questo procedimento
Secondo me, la derivata direzionale di $f(x,y)=x-y^3$, lungo la direzione $v=(\alpha,\beta)\in \mathbb{R}^2$ è
$\partial/\(partialv ) f(x,y)= \nabla f(x,y) \cdot v = (1,-3y^2) \cdot (\alpha,\beta) = \alpha-3 \beta y^2$
Quindi nell'origine, la derivata direzionale lungo la direzione v è $\partial/\(partialv ) f(0,0)=\alpha$.
In accordo con il tuo risultato ottenuto applicando la definizione.
$\partial/\(partialv ) f(x,y)= \nabla f(x,y) \cdot v = (1,-3y^2) \cdot (\alpha,\beta) = \alpha-3 \beta y^2$
Quindi nell'origine, la derivata direzionale lungo la direzione v è $\partial/\(partialv ) f(0,0)=\alpha$.
In accordo con il tuo risultato ottenuto applicando la definizione.
rileggendo la tua prima risposta, Intendo proprio dire che nell'origine qualsiasi vettore ([tex]\alpha[/tex],[tex]\beta[/tex])[tex]\in[/tex]R^2 è derivata direzionale di f
ah ok, non capisco però come lo devo interpretare: [tex]\alpha[/tex] rappresenta tutte le derivate direzionali nel punto (0,0) ?
"Piccy":
Intendo proprio dire che nell'origine qualsiasi vettore
Questo è piuttosto sbagliato, sopratutto perché la derivata direzionale puntualmente, non è un vettore ma uno scalare.
"Piccy":
ah ok, non capisco però come lo devo interpretare: [tex]\alpha[/tex] rappresenta tutte le derivate direzionali nel punto (0,0) ?
$\alpha$ è la derivata direzionale lungo la direzione $v=(\alpha,\beta)$, nell'origine della funzione f(x,y)...
Se $v=(\sqrt(2)/2,\sqrt(2)/2)$ allora $\partial/(\partialv)f(0,0)=\sqrt(2)/2$.
Grazie mille, soprattutto per la pazienza 
avevo frainteso il significato di derivata direzionale
avevo frainteso il significato di derivata direzionale
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